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推导求弧长的积分公式过程中的求极限问题

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发表于 2020-9-9 00:45 | 显示全部楼层 |阅读模式
………………
发表于 2020-9-9 10:38 | 显示全部楼层
用勾股定理, 得到: ds=根号下(dx)^2 +(dy)^2, 然后同时除以(dx)^2, 就得出ds表达式. 弧长用积分求.

就是以直代曲, 我一直搞不懂. 以前老师也不教, 然后找资料, 有些人说用夹逼来证明 以直代曲, 但始终没有见识过严格的证明.

非专业的数学不学原理, 很蛋疼.
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 楼主| 发表于 2020-9-9 11:21 | 显示全部楼层
本帖最后由 永远 于 2020-9-13 20:22 编辑

陆老师中午好,那个无限分割,以直代曲,然后作和,在取和式极限就是相应的积分,好多书为什么要么提一下要么说一半留一半,难道给我一个眼神,让我自己去体会
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 楼主| 发表于 2020-9-10 07:15 | 显示全部楼层
祝陆老师教师节快乐,各位老师教师节好
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发表于 2020-9-12 11:33 | 显示全部楼层
下面是网友 elim 在《数学中国》论坛上发表的一个帖子:


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 楼主| 发表于 2020-9-12 11:58 | 显示全部楼层
本帖最后由 永远 于 2020-9-12 12:01 编辑
luyuanhong 发表于 2020-9-12 11:33
下面是网友 elim 在《数学中国》论坛上发表的一个帖子:


陆老师好,对5楼有何看法,不知道我分析的对不对,另外e老师的帖子我看不懂,陆老师可否指导一下
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 楼主| 发表于 2020-9-12 17:03 | 显示全部楼层
luyuanhong 发表于 2020-9-12 11:33
下面是网友 elim 在《数学中国》论坛上发表的一个帖子:

陆老师晚上好,老师还在吗
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 楼主| 发表于 2020-9-12 20:56 | 显示全部楼层
本帖最后由 永远 于 2020-9-12 20:58 编辑
luyuanhong 发表于 2020-9-12 11:33
下面是网友 elim 在《数学中国》论坛上发表的一个帖子:


陆老师晚上好,e老师的看不懂,老师可否指导一下,希望看你老的帖子
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发表于 2020-9-13 06:41 | 显示全部楼层
题:\(y=f(x),\;\;f\in\mathscr{C}'([a,b])\,\)的曲线长\(\small\;S=\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+(f')^2}.\)
证:对\(\,n\in\mathbb{N}^+,\,\)记\(\,h={\large\frac{b-a}{n}},\,x_k=a+kh,{\small\,M_k=}(x_k,f(x_k)).\)
\(\qquad\)记\(\,\eta(x,h){\small=}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\small-f'(x).\,\)因\(\,f'\,\)在\([a,b]\)一致连续,
\(\qquad\eta_h\small=\max\{|f'(s)-f'(t)|\mid s,t\in[a,b],\;|s-t|\le h\}\overset{(h\to 0)}{\longrightarrow}\ 0\underset{\,}{.}\)
\(\therefore\quad|{\small M_{k-1}M_k}|=\sqrt{h^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\)
\(\qquad\qquad=h\sqrt{1+(f'(x_{k-1})+\eta(x_{k-1},h))^2}\)
\(\qquad\qquad=h\sqrt{1+(f'(x_{k-1})^2)}+h\Delta_k.\underset{\,}{\;}\)其中
\(\qquad|\Delta_k|=\left|\sqrt{{\small 1+}(f'(x_{k-1})+\eta(x_{k-1},h))^2}-\sqrt{{\small 1+}(f'(x_{k-1})^2)}\right|\)
\(\qquad\qquad=\large\frac{|\eta(x_{k-1},h)(2f'(x_{k-1})+\eta(x_{k-1},h)))|}{\sqrt{1+(f'(x_{k-1})+\eta(x_{k-1},h))^2}+\sqrt{1+(f'(x_{k-1})^2)}}\)
\(\qquad\qquad\le\overset{\,}{\large\frac{1}{2}}\big|\eta(x_{k-1},h)(2f'(x_{k-1})+\eta(x_{k-1},h)))\big|\)
\(\qquad\qquad\le 2\eta_h\max|f'|\)
\(\therefore\quad\displaystyle\big|{\small\sum_{k=1}^n} h\Delta_k\big|\le 2nh\eta_h\max|f'|=2\eta_h(b-a)\max|f'|\overset{(n\to\infty)}{\longrightarrow}\ 0\)
\(\therefore\quad\displaystyle{\small S=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n|M_{k-1}M_k|=\lim_{n\to\infty}\big(\sum_{k=1}^n}h{\small\sqrt{1+(f(x_{k-1}))^2}+\sum_{k=1}^n}h\Delta_k\big)\)
\(\qquad\quad\displaystyle{\small=\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}}dx.\quad\small\square\)
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发表于 2020-9-13 07:32 | 显示全部楼层
楼上 elim 的解答很好!已收藏。
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