数列收敛不能说明其对应的级数一定收敛吧？

wufaxian

请看上图红线部分。数列非减且有上界确实会收敛。但这结论不能过度到级数吧。数列的敛散性本质是n趋于无穷后，an这一个数是否会在某一数L的足够小区间内波动。而不会跳出该区间。

而级数是n趋于无穷后数列的累加。可不是只关心最后一项an这一个数而已。例如常数列项an=1，收敛到1。但是其组成的级数却是发的！




同理，第二个红线，部分和有上界。

部分和与级数的区别是，部分和的n不趋于无穷，而级数的n是明确趋于无穷的。那么部分和有上界不一定代表级数有上界。毕竟部分和是有限项相加。即便其对应的级数是发散的，部分和也应该是收敛吧，具体收敛到哪里，要看n的取值了，如果n=10，那就收敛到前十项相加。

luyuanhong

注意：这里有两种数列，一种是由级数中各项组成的数列 {an} ，一种是由级数的部分和组成的数列 {Sn} 。

由级数中各项组成的数列 {an}  收敛时，无穷级数 ∑an 不一定收敛。

由级数的部分和组成的数列 {Sn}  收敛时，无穷级数 ∑an 必定收敛。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2020-9-10 19:51
注意：这里有两种数列，一种是由级数中各项组成的数列 {an} ，一种是由级数的部分和组成的数列 {Sn} 。

...

谢谢lu老师回复。

为什么“由级数的部分和组成的数列 {Sn}  收敛时，无穷级数 ∑an 反而必定收敛。”
当然在   a5+a6+a7……an 收敛时，再加上a1+a2+a3+a4确实不改变敛散性之。但是如果a1+a2+a3+……an收敛，不代表n趋向无穷时级数还必定收敛吧？我有点想不通。或者是我对“部分和”这个概念有什么误解？在我脑海中，部分和就时a1+a2+a3+a4+……+an。但是n不趋向无穷。而一旦n趋向无穷，部分和就变成了级数。

书中并没有其他章节对这些做进步一讲解或证明，或者这部分不属于微积分课程需要证明的？

luyuanhong

由一个级数的部分和组成的数列，是一个无穷数列，即有 {Sn}={S1,S2,S3,…,Sn，…}。

我们说部分和数列 {Sn} 收敛的意思是：当 n→∞ 时，极限 lim(n→∞)Sn 存在。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2020-9-11 00:16
由一个级数的部分和组成的数列，是一个无穷数列，即有 {Sn}={S1,S2,S3,…,Sn，…}。

我们说部分和数列 { ...

谢谢lu老师回复
关于最新回复中“ 我们说部分和数列 {Sn} 收敛的意思是：当 n→∞ 时，极限 lim(n→∞)Sn 存在。”这个意思我明白了，
但是这个与你上一个回复中所说的“由级数中各项组成的数列 {an}  收敛”有什么区别？“部分和”与“各项”的区别是什么呢？

luyuanhong

我们说由级数中各项组成的数列 {an} 收敛的意思是：当 n→∞ 时，极限 lim(n→∞)an 存在。

例  级数 ∑(n=1,∞)an = ∑(n=1,∞)1/n  = 1+1/2+1/3+1/4+…+1/n+…  。

由级数中各项组成的数列是 {an}={ a1 , a2 , a3 , … , an , … }={1 , 1/2 , 1/3 , … , 1/n , …} 。

它的极限 lim(n→∞)an = lim(n→∞)1/n = 0 。可见这一数列 {an} 是收敛的。

由级数的部分和组成的数列是  {Sn}={S1 , S2 , S3 , … , Sn , …}={1 , 1+1/2 , 1+1/2+1/3 , … , 1+1/2+1/3+…+1/n , … } 。

它的极限  lim(n→∞)Sn = lim(n→∞)(1+1/2+1/3+…+1/n) = ∞ 。 可见这一数列 {Sn} 是发散的 。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2020-9-11 12:05
我们说由级数中各项组成的数列 {an} 收敛的意思是：当 n→∞ 时，极限 lim(n→∞)an 存在。

例  级数 ∑ ...

谢谢lu老师的回复。我重新梳理了一下整个帖子和我头脑中的疑惑。对于第一个帖子（也就是主贴）的两条红线。其中第二条红线已经理解且认同了。但是对于第一条红线的描述，头脑中还是充满了矛盾。

原文：根据单调序列定理（每个单调有界序列是收敛的），若{Sn}有上界，则级数收敛。

这段话前半段是没有问题。但是后半段直接从数列过渡到级数上。就会遇到问题。举例如下：

数列：0.1，0.5，0.8，0.9，0.99，0.999，0.9999，0.99999，……，0.99999999999999999，……

级数：0.1+0.5+0.8+0.9+0.99+0.999+0.9999+0.99999+……+0.99999999999999999+……

以上级数和数列都是有序的。且他们的第n项都无限接近整数1，但是永远不会达到或超过整数1。

作为数列，他一定是收敛的，因为第n项 an无限接近整数1

但是作为级数，明显就不收敛了吧。越加越多。只要n不断增加，求和的结果就会不断膨胀。无法收敛吧？？？