求满足 ｜5x+6y｜+｜9x+11y｜≤1 的 (x,y) 点所成点集图形的面积

wintex

請問面積問題

elim

题：求\(\,|5x+6y|+|9x+11y|\le 1\) 确定的区域面积.
解：\(|5x+6y|+|9x+11y|\le 1\iff(\max|5x+6y\pm(9x+11y)|\le 1)\)
\(\Longleftrightarrow(|14x+17y|\le 1)\wedge(|4x+5y|\le 1)\Longleftrightarrow\begin{bmatrix}14&17\\4&5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\in[-1,1]^2\)
\(\therefore\quad\)所求面积\(\,|\Omega|=m\big({\small\begin{bmatrix}14&17\\4&5\end{bmatrix}^{-1}}([-1,1]^2)\big)={\large\frac{|[-1,1]^2|}{\left|\det\begin{bmatrix}14&17\\4&5\end{bmatrix}\right|}}=2.\quad\small\square\)

一般地,\(|ax+by|+|cx+dy|\le c>0 \iff \begin{bmatrix}a+c& b+d\\a-c& b-d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\in[-c,c]^2\)
令\(\,\Phi(x,y)=\begin{bmatrix}a+c&b+d\\a-c&b-d\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\),
则所求面积\(\;|\Omega|={\small\displaystyle\int}_{[-c,c]^2}|J_{\Phi}|dA=|J_{\Phi}||[-c,c]^2|=\large\frac{2c^2}{|ad-bc|}\)

luyuanhong

楼上 elim 的解答很好！已收藏。