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sinx 的线性逼近,当 |x|<10^(-3) 时,对 x 的哪些值使得 x<sinx ?

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发表于 2020-9-16 01:20 | 显示全部楼层 |阅读模式
sinx的线性逼近,哪些值使得x<sinx?

由于sinx的任意阶导数都小于1

所以sinx的泰勒展开到第n项时,其误差一定小于其第n+1项


现在又x<sinx=x-误差项 ,因此只要误差项小于0。该不等式就成立

下一项正好是(x^3)/6 , 因此只要x^3<0 就可以了。x<0就可以了但是答案却不是这样?下图是完整的问题和答案。还有函数的泰勒多项式展开通常都是x的非线性函数的形式,为什么要叫“线性逼近”?

问题:




答案

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x
发表于 2020-9-16 11:42 | 显示全部楼层
所谓“线性逼近”,就是取函数 f(x) 的级数展开式中的常数项和 x 的一次方项,作为函数 f(x) 的近似表达式。

即有 f(x) ≈ a0 + a1 x(a0,a1 是常数)。因为 y = a0 + a1 x 的图像是一条直线,所以称为“线性逼近”。

例如,函数 e^x 的级数展开式是 e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + …… 。

取级数展开式中的常数项和 x 的一次方项,就可得到 e^x 的线性逼近 e^x  ≈ 1 + x  。
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