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D,E 分别是 AB,AC 上两点,延长 DE,BC 交于 F,已知 AD=2DB,SΔABC=SΔECF,求 CF:BC

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发表于 2020-9-16 15:55 | 显示全部楼层 |阅读模式
请教一题,平面几何。

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发表于 2020-9-16 21:39 | 显示全部楼层


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 楼主| 发表于 2020-9-16 22:42 | 显示全部楼层
非常感谢陆老师指点迷津,谢谢!
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发表于 2020-9-17 07:04 | 显示全部楼层
嗯,我正想做,已经做出来了。
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 楼主| 发表于 2020-9-17 10:57 | 显示全部楼层

若D为AB内一动点(不与A、B重合),F为BC延长线上一动点(不与C重合),要使SΔABC=SΔECF我发现AD:BD、FC:CB这两个比值不能同时为有理数,不知对不对?
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发表于 2020-9-20 07:28 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-9-20 07:30 编辑


谢谢陆老师!借用 2#图。

\(记S_2="1",S_1=k\)

\(\frac{x}{y}=\frac{1+k+\sqrt{1+(6+k)k}}{2}\)
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发表于 2020-9-20 08:41 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-9-20 08:42 编辑

继续。

\(记\frac{S_2}{S_1}=\frac{1}{k},\frac{S_4}{S_5}=\frac{1}{p}\)

\(\frac{x}{y}=\frac{p(1+k)+\sqrt{p(4k+(1+k)^2p)}}{2}\)
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发表于 2020-9-20 08:49 | 显示全部楼层
当 AD:DB=k:1 时,可以求得 CF:BC=x:y=[k+1+√(k^2+6k+1)]/2 ,就是楼上王守恩得到的结果。

特别,当 AD:DB=3:2 时,可以求得 CF:BC=x:y=3:1 。

由此可见,两个比值同时取到有理数,也是可能的




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 楼主| 发表于 2020-9-21 17:34 | 显示全部楼层
陆老师、王老师解得太精彩了。我尝试让k=2/3时,x/y的值也是有理数2。数学之美,令人陶醉。
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发表于 2020-9-22 05:47 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-9-22 06:05 编辑
luyuanhong 发表于 2020-9-20 08:49
当 AD:DB=k:1 时,可以求得 CF:BC=x:y=[k+1+√(k^2+6k+1)]/2 ,就是楼上王守恩得到的结果。

特别, ...


继续。

\(记三角形ABC的三条边为a,b,c\)
\(p是三角形ABC内的点,过p作角分线交a,b,c于D,E,F\)
\(BC=a=BD+DC=a_1+a_2\)
\(CA=b=CE+EA=b_1+b_2\)
\(AB=c=AF+FB=c_1+c_2\)

\(我们恒有:\)
\(\frac{a_1*b_1*c_1}{a_2*b_2*c_2}={1}\)
\(或:\)
\(\frac{S_{a1}*S_{b1}*S_{c1}}{S_{a2}*S_{b2}*S_{c2}}={1}\)

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