求极限 lim(n→∞){sin[π√(n^2+n)]}^2

永远

elim 发表于 2020-10-17 01:23
\(n\to\infty\) 约定俗成指的就是 \(\mathbb{N}\ni n\to +\infty.\)

研究它可能是别的意思, 例如复数,  ...

我不觉得无聊，因为高校课本上有案例，具体问题具体分析

永远

趋于无穷大包括趋于正负无穷大，凭什么只趋于正无穷大，另外小n为什么就一定属于N（自然数集合），它又不是求数列的极限

elim

所谓约定俗成， 也就是多数人觉得无聊，你不觉得无聊，那你就玩好了。

趋于无穷包括正负无穷，但极限定义告诉你不能既趋于正无穷有趋于负无穷。所以基础不牢，吃苦不少。

王守恩

天山草@ 发表于 2020-10-13 20:25
这个结果 mathematica 不认可。即使 n 是正整数也不行。这个东西没有极限，因为它的值总是在 0 与 1 之间振 ...

1，Limit\(\big[\sin^2[\pi\sqrt{x^2 + x}], x\to\infty\big]\)
    Interval[{0, 1}]
2，Limit\(\big[\sin^2[\pi\sqrt{x^2 + x}], x\to0\big]\)
    0
3，Limit\(\big[\sin^2[\pi\sqrt{x^2 + x} + y], x\to0\big]\)
    Sin^2[y]
4，Limit\(\big[\sin^2[\frac{\pi}{\sqrt{x^2 + x}}], x\to0\big]\)
    Interval[{0, 1}]
5，Limit\(\big[\sin^2[\frac{\pi}{\sqrt{x^2 + x}}], x\to\infty\big]\)
    0
6，Limit\(\big[\sin^2[\frac{\pi}{\sqrt{x^2 + x}} + y], x\to\infty\big]\)
     Sin[y]^2
7，Limit\(\big[(FractionalPart[\pi\sqrt{x^2 + x}] + y)^2, x\to0\big]\)
    y^2
8，Limit\(\big[(FractionalPart[\frac{\pi}{\sqrt{x^2 + x}}] + y)^2, x\to\infty\big]\)
    y^2
\(在这里，"平方"可以去掉，\pi\ \ 可以去掉，\sqrt{\ \ }\ 可以去掉，\)
               \(x^2+x\ \ 可以换掉，、\sin\ \ 可以换掉，.........\)

\(对于第一个问题，如果限定\ x\ 是正整数，\sqrt{x^2+x}\ \ 改 \sqrt{x^2+x+1/4}\ 结果都是 1\)

永远

我的天啊，楼上又是一大堆，看着咋人，好多符号我都不认识

王守恩

天山草@ 发表于 2020-10-13 20:25
这个结果 mathematica 不认可。即使 n 是正整数也不行。这个东西没有极限，因为它的值总是在 0 与 1 之间振 ...

这样不行吗？
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sin^2(\pi\sqrt{n^2+n})\)
\(=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sin^2(\pi\sqrt{n^2+n}+n\pi)\)
\(=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sin^2(\pi(\sqrt{n^2+n}+n))\)
\(=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sin^2(\pi\frac{(\sqrt{n^2+n}+n)(\sqrt{n^2+n}-n)}{\sqrt{n^2+n}-n})\)
\(=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sin^2(\pi\frac{n^2+n-n^2}{\sqrt{n^2+n}-n})\)
\(=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sin^2(\pi\frac{n}{\sqrt{n^2+n}-n})\)
\(=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sin^2(\pi\frac{1}{\sqrt{1+1/n}-1})\)
\(=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sin^2(\pi*0)=0\)

王守恩

天山草@ 发表于 2020-10-13 20:25
这个结果 mathematica 不认可。即使 n 是正整数也不行。这个东西没有极限，因为它的值总是在 0 与 1 之间振 ...

举个例子：“今天”是“星期天”，过“无穷天”是“星期几”？

天山草@

永远

天山草@ 发表于 2020-10-18 11:24

从软件中得出来的图像可知：当n→+∞时，{sin[π√(n^2+n)]}^2的值在0到1之间来回振荡，见图片




我说的是图像上来回振荡的问题（结果发散），而e老师说的是理论上问题（结果是1）。我们根本就不在同一频道。能不能看看本楼的图像

elim

在 n 取正整数值的情况下没有这种震荡.  正确的理论和实际是一致的.