Stolz 公式的应用条件

jzkyllcjl

Stolz 公式 是对不定式 才能使用的公式。否则不能用。你的18楼写了（na(n)-2）/a(n) 的 极限可以是任何k， 但这里的（na(n)-2）与a(n) 都是已经具体确定函数，所以你需要算出 k 的具体数字,,否则 它可能不属于不定型。

elim

jzkyllcjl 吃上了狗屎弄伤了脑子. 活该看不懂菲赫金哥尔茨:

jzkyllcjl

第一你8楼使用O.Stolz公式计算na(n)可以的， 计算中你使用了a(n+1)= a(n)-1/2 a^2(n)+1/3 a^3(n)+O(a^3(n)),，所以你的你的 na(n) 极限为2的证明， 实际上是，取极限之前使用了na(n)=(2+1/3a(n）+O((a(n))^2)的极限，由于a(n）的极限是0，所以这个极限是2.
第二根据第一，可知（na(n)-2）的极限等于1/3a(n）+O((a(n))^2)的极限，这个极限是0，因此（na(n)-2）是无穷小；而且1/3a(n）也是无穷小.。
第三，根据第二，计算n（na(n)-2）这个∞*0 的不定式极限时，使用上述（na(n)-2）的极限等于1/3a(n）+O((a(n))^2)的极限，得到A(n)的分子的极限lim n（na(n)-2）=lim n*1/3a(n）=2/3.。而不是你9楼算出A(n)极限为2/3后, 用反推法得到的极限为无穷大的结果。
第四， 根据第三，得到A(n)的极限为0，不是你算的2/3。
第五，由于τ（n）=（na(n)-2）/a(n)是0/0型的不定时，将（na(n)-2）的极限等于无穷小1/3•a(n）+ O((a(n))^2)的极限代入分子中，就得到τ（n）的极限是1/3，不是你9楼算出A(n)极限为2/3后，得到的τ（n）的极限为无穷大。
第六，根据τ（n）的极限是1/3，可以得到：当n充分大时，（na(n)-2）小于a(n) 的一倍，但根据你的τ（n）的极限为无穷大，得到的是当n充分大时，（na(n)-2）大于a(n) 的一万倍，这就矛盾了。矛盾的原因，在于你没有尊重使用Stolz 公式之前，必须证明A(n) 分子、分母的极限都是无穷大。

elim

\(na_n\) 与 \(\frac{\Delta n}{\Delta a_n^{-1}}=\frac{1}{a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1}}=2+\frac{1}{3}a_n+O(a_n^2)\) 的极限相等而不是相等.
可以推出 \(na_n=2+o(n)\), 其中 \(o(n)\to 0\;(n\to\infty)\) 但未必有 \(o(n) = \frac{1}{3}a_n+O(a_n^2)\)

没有\(na_n\small-2\) 与 \(\frac{1}{3}a_n\) 的等价性, \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n(na_n{\small-2})=\lim_{n\to\infty} n\cdot{\scriptsize\frac{1}{3}}a_n\) 是胡扯.

什么叫作 0/0 或 ∞ 0 不定式你也弄不清楚. 至于 Stolz 定理的应用条件, 你有眼
无珠了一辈子. 可怜啊.

jzkyllcjl

根据Stolz 公式，第一你8楼使用O.Stolz公式计算na(n)可以的， 计算中你使用了a(n+1)= a(n)-1/2 a^2(n)+1/3 a^3(n)+O(a^3(n)),，所以你的你的 na(n) 极限为2的证明， 实际上是，取极限之前使用了na(n)=(2+1/3a(n）+O((a(n))^2)的极限，由于a(n）的极限是0，所以这个极限是2.
第二根据第一，可知（na(n)-2）的极限等于1/3a(n）+O((a(n))^2)的极限，这个极限是0，因此（na(n)-2）是无穷小；而且1/3a(n）也是无穷小.。
第三，根据第二，计算n（na(n)-2）这个∞*0 的不定式极限时，使用上述（na(n)-2）的极限等于1/3a(n）+O((a(n))^2)的极限，得到A(n)的分子的极限lim n（na(n)-2）=lim n*(1/3a(n）+O((a(n))^2))=2/3.。而不是你9楼算出A(n)极限为2/3后, 用反推法得到的极限为无穷大的结果。
第四， 根据第三，得到A(n)的极限为0，不是你算的2/3。
第五，由于τ（n）=（na(n)-2）/a(n)是0/0型的不定时，将（na(n)-2）的极限等于1/3•a(n）+ O((a(n))^2)代入分子中，就得到τ（n）的极限是1/3，不是你9楼算出A(n)极限为2/3后，得到的τ（n）的极限为无穷大。
第六，根据τ（n）的极限是1/3，可以得到：当n充分大时，（na(n)-2）小于a(n) 的一倍，但根据你的τ（n）的极限为无穷大，得到的是当n充分大时，（na(n)-2）大于a(n) 的一万倍，这就矛盾了。矛盾的原因，在于你没有尊重使用Stolz 公式之前，必须证明A(n) 分子、分母的极限都是无穷大的不定型。没有尊重A（n） 的极限是0 的事实。

elim

jzkyllcjl 这几条够推翻 Stolz 定理了? 呵呵.

jzkyllcjl

elim 发表于 2020-10-4 03:05
jzkyllcjl 这几条够推翻 Stolz 定理了? 呵呵.

我始终没有推翻 Stolz 定理 的思想。 我的六条第一条 就说了： 第一你8楼使用O.Stolz公式计算na(n)可以的， 计算中你使用了a(n+1)= a(n)-1/2 a^2(n)+1/3 a^3(n)+O(a^3(n)),，所以你的你的 na(n) 极限为2的证明， 实际上是，取极限之前使用了na(n)=(2+1/3a(n）+O((a(n))^2)的极限，由于a(n）的极限是0，所以这个极限是2.

elim

可怜的 jzkyllcjl 推翻 Stolz 定理失败, 又不愿接受
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{n(na_n-2)}{\ln n}=\frac{2}{3}}\;\;\small(0< a_{n+1}=\ln(1+a_n))\)
的深刻事实. 很纠结是吧? 不戒吃狗屎, 认罪悔改, 你 jzkyllcjl 是没有出路的.

jzkyllcjl

你8楼的结果 是另一个主贴的9楼错误证明的结果，是错误的。 实际上 这个极限是0，而不是你的2/3.

elim

可怜的 jzkyllcjl, 你说 Stolz 定理错误并不奇怪, 吃上了狗屎一定会弄还脑子的.