在 ΔABC 中，AB=BC=AC ，D,E 在 BC 上，∠DAE=30°，BD=16 ，CE=5 ，求 AB

wintex

請問幾何

波斯猫猫

思路：设DE=x、AD=y、AD=z、从左至右三个三角形的面积分别为16s、xs、5s，根据条件由余弦定理有
x＾2=y＾2+z＾2-√3yz        （1），
y＾2=（x+21）＾2+16＾2-16（x+21）=x＾2+26x+361 ，
z＾2=（x+21）＾2+5＾2-5（x+21）=x＾2+37x+361  ;
所以y＾2+z＾2=2x＾2+63x+722。（2）
显然正三角形的面积为（x+21）s=√3（x+21）＾2/4,而xs=yz/4，
所以上述两式相比后得yz=√3x（x+21）。 （3）
把（2）和（3）代入（1）中，最后解得x=19.故AB=40.

小fisher

\(\mathrm{如图}，\mathrm{设正三角形边长为}x，\mathrm{做辅助线}AF\perp BC，DG\perp AB，EH\perp AC，\\则AF=\;\frac{\sqrt3}2x，BG=8，\;AG=x-8，CH=2.5，AH=x-2.5\\\because\angle GAD=30^\circ-\angle DAF=\angle FAE，\angle AGD=\angle AFE=90^\circ\;\\\therefore\bigtriangleup AGD\backsim\bigtriangleup AFE\;\\\therefore\frac{AD}{AE}=\frac{AG}{AF}=\frac{x-8}{\frac{\sqrt3}2x}\\\mathrm{同理}，\bigtriangleup ADF\backsim\bigtriangleup AEH，\frac{AD}{AE}=\frac{AF}{AH}=\frac{\frac{\sqrt3}2x}{x-2.5}\\\therefore\frac{x-8}{\frac{\sqrt3}2x}=\frac{\frac{\sqrt3}2x}{x-2.5}\\\mathrm{化简得}x^2-42x+80=(x-40)(x-2)=0\\\mathrm{解得}x_1=40，x_2=2\;\;（x<CE，\mathrm{不合题意}，\mathrm{舍去}）\)

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 和 小fisher  的解答很好！已收藏。

wintex

luyuanhong 发表于 2020-10-4 00:59
楼上 波斯猫猫 和 小fisher  的解答很好！已收藏。

請問這個解答是什麼意思？

王守恩

1，\(设CA=x，∠CAE=\theta，∠BAD=30°-\theta\)
2，三角形ABD(正弦定理)，
\(\frac{x}{\cos(\theta)}=\frac{16}{\sin(30°-\theta)}\Rightarrow x=\frac{16\cos(\theta)}{\sin(30°-\theta)}\)
其中：\(\cos(\theta)=\sin(90°-\theta)=\sin(60°+(30°-\theta))\)
3，三角形ACE(正弦定理)，
\(\frac{x}{\cos(30°-\theta)}=\frac{5}{\sin(\theta)}\Rightarrow x=\frac{5\cos(30°-\theta)}{\sin(\theta)}\)
其中：\(\cos(30°-\theta)=\sin(90°-(30°-\theta))=\sin(60°+\theta)\)
4，解方程：\(x=\frac{16\cos(\theta)}{\sin(30°-\theta)}=\frac{5\cos(30°-\theta)}{\sin(\theta)}\) 得 x=40

小fisher

wintex 发表于 2020-10-4 06:15
請問這個解答是什麼意思？

在三角形外做△AC'B≌△AEC，则∠C'AD=∠DAE=30°，AC'=AE，AD=AD，所以△AC'D≌△ADE，C'D=DE
在△C'BD中，BC'=CE=5, BD=16，∠C'BD=120°
用余弦定理得C'D^2=BC'^2+BD^2-2BC'·BD·cos120°=5^2+16^2-2x5x16x(-1/2)=361=19^2
（图中公式有误）
所以DE=C'D=19
BC=5+19+16=40

天山草@

我来一个不太动脑子的解法。
假如正三角形的边长 x 已知，那么 AD， AE， DE 都可确定，∠DAE 也就知道了。现在是已知 ∠DAE=30°，所以由余弦定理可列出以下方程：
\[ BD =16\\ CE =5\\  DE = x - BD - CE\\ AD^2 = x^2 + BD^2 - 2 x \,BD* cos(\tfrac{\pi}{3}) \\ AE^2 = x^2 + CE^2 - 2x\, CE* cos(\tfrac{\pi}{3})\\DE^2 =AD^2 + AE^2 - 2AD\, AE* cos(\tfrac{\pi}{6})   \]
用 mathematica 在 \( x>0， x>AD>0， x>AE>0  \) 的条件下解之，得到：
\[ x =40 \\AD =34.8712\\   AE  =37.7492  \]

程序和运行结果如下：


上述方程组不难想到，但是值得注意的是，如果不限定其他条件，将会得到 8 组不同的解，符合要求的只有一个。
经程序调试，在规定了\( x>0， x>AD>0， x>AE>0  \) 的约束条件后，会自动去除掉 7 组无效解。

doletotodole

好多大神的精彩解答, 学习了.

我记得这种题目在初中就是套路题, 也就是上面第三种解法的旋转法, 有秒杀的感觉.

luyuanhong

下面是对第 5 楼、第 7 楼解法的详细说明：