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在 ΔABC 中,cosA=4cosC,sinC=3√21/14,ΔABC 的周长为 5+√7,求 ΔABC 的面积

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发表于 2020-10-9 23:15 | 显示全部楼层 |阅读模式
解三角形

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发表于 2020-10-10 11:22 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-10-10 11:26 编辑

\(\sin(C)=\frac{3\sqrt{21}}{14}=\sqrt{\frac{189}{196}}\ \ \ \ (1)\)
\(\cos(C)=\sqrt{1-\bigg(\sqrt{\frac{189}{196}}\bigg)^2}=\sqrt{\frac{7}{196}}\)
\(\cos(A)=4\cos(C)=4\sqrt{\frac{7}{196}}=\sqrt{\frac{112}{196}}\)
\(\sin(A)=\sqrt{1-\bigg(\sqrt{\frac{112}{196}}\bigg)^2}=\sqrt{\frac{84}{196}}\ \ \ \ (2)\)
\(\frac{\sin(A)}{\sin(C)}=\frac{\sqrt{\frac{84}{196}}}{\sqrt{\frac{189}{196}}}=\frac{\sqrt{84}}{\sqrt{189}}=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{21}}=\frac{2}{3}\)
\(a+b+c=5+\sqrt{7}=2+\sqrt{7}+3\)
\(\cos(B)=\frac{2^2+3^2-7}{2×2×3}=\frac{1}{2}\ \ \ \ B=60°\)
\( ΔABC 的面积=\frac{2×3\sin(60°)}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

点评

谢谢王老师!有个地方不明白,由sinA:sinC = 2 :3 = a : c,a+b+c=5+√7,这里怎么就能断定 a=2,b=3?a b有没有可能是1和4或其它呢?  发表于 2020-10-10 20:19
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发表于 2020-10-10 11:57 | 显示全部楼层
楼上 王守恩 的解答很好!已收藏。
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发表于 2020-10-11 07:30 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-10-11 15:37 编辑
王守恩 发表于 2020-10-10 11:22
\(\sin(C)=\frac{3\sqrt{21}}{14}=\sqrt{\frac{189}{196}}\ \ \ \ (1)\)
\(\cos(C)=\sqrt{1-\bigg(\sqrt{\ ...

凭的是对数字的灵感(结合\(\cos(B)\)也是唯一的)。
要不,修正一下。

\(\sin(C)=\frac{3\sqrt{21}}{14}=\sqrt{\frac{27}{28}}\ \ \ \ (1)\)
\(\cos(C)=\sqrt{1-\bigg(\sqrt{\frac{27}{28}}\bigg)^2}=\sqrt{\frac{1}{28}}\)
\(\cos(A)=4\cos(C)=4\sqrt{\frac{1}{28}}=\sqrt{\frac{16}{28}}\)
\(\sin(A)=\sqrt{1-\bigg(\sqrt{\frac{16}{28}}\bigg)^2}=\sqrt{\frac{12}{28}}\ \ \ \ (2)\)
\(\sin(B)=\sin(C+A)=\sqrt{\frac{27}{28}}\sqrt{\frac{16}{28}}+\sqrt{\frac{1}{28}}\sqrt{\frac{12}{28}}=\sqrt{\frac{21}{28}}\ \ \ \ (3)\)
\(\sin(A):\sin(B):\sin(C)=\sqrt{\frac{12}{28}}:\sqrt{\frac{21}{28}}:\sqrt{\frac{27}{28}}=2:\sqrt{7}:3=a:b:c\)
\(即:a+b+c=5+\sqrt{7}=2+\sqrt{7}+3\)
\( ΔABC 的面积=\frac{2×3\sin(B)}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

点评

彻底明白了,非常感谢王老师释疑。  发表于 2020-10-12 19:53
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