a,b,c＞0，求(13a+13b+2c)/(2a+2b)+(24a-b+13c)/(2b+2c)+(-a+24b+13c)/(2c+2a)最小值

wintex

請問一題

wintex

想請問一下

波斯猫猫

令x=2a+2b, y=2b+2c, z=2c+2a，看看会出现怎样的情况。

luyuanhong

王守恩

波斯猫猫 发表于 2020-10-20 10:55
令x=2a+2b, y=2b+2c, z=2c+2a，看看会出现怎样的情况。

观察：a与b的系数呈成对出现，我们可以大胆设a=b=1
\(a,b,c＞0，求\frac{13a+13b+2c}{2a+2b}+\frac{24a-b+13c}{2b+2c}+\frac{-a+24b+13c}{2c+2a}最小值\)
\(=\frac{13b+13b+2c}{2b+2b}+\frac{24b-b+13c}{2b+2c}+\frac{-b+24b+13c}{2c+2b}\)
\(=\frac{26b+2c}{4b}+\frac{23b+13c}{2b+2c}+\frac{23b+13c}{2c+2b}\)
\(=\frac{13b+c}{2b}+\frac{23b+13c}{b+c}\)
\(=\frac{13+c}{2}+\frac{23+13c}{1+c}\)
\(=\frac{12+1+c}{2}+\frac{10+13+13c}{1+c}\)
\(=6+\frac{1+c}{2}+\frac{10}{1+c}+13\)
\(=19+\frac{1+c}{2}+\frac{10}{1+c}\)
\(当\frac{1+c}{2}=\frac{10}{1+c}时有最小值，解得c=\sqrt{20}-1\)
\(19+\frac{1+c}{2}+\frac{10}{1+c}=19+\sqrt{20}\)

王守恩

我们可以大胆设a=b=1，
也可以设a=b=2,3,4,5,6,7,...
还可以设c=1,2,3,4,5,6,7,......
答案都不会变。