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求定积分 ∫(0,+∞)2x/(e^x-1)dx

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发表于 2020-10-14 00:06 | 显示全部楼层 |阅读模式
请问该积分为何最后结果为-π^2/3

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发表于 2020-10-14 04:14 | 显示全部楼层
题:计算\(\;\displaystyle{\small I=\int_0^{\infty}\frac{x}{e^x-1}}dx\)
解:\(\displaystyle{\small I\,\;\overset{e^{-x}=u}{=\hspace{-2px}=}\;-\int_0^1\frac{\ln u}{1-u}}du\;{\small\overset{u=1-v}{=\hspace{-2px}=}\;-\int_0^1\frac{\ln(1-v)}{v}}dv\)
\(\qquad\displaystyle\small\quad\,=\int_0^1\sum_{k=1}^{\infty}\frac{v^{k-1}}{k}dv=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.\quad\square\)

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e老师的e^{-x}=u,这个-x有点小了,看不清啊。估计不用\small会好很多,或者再加大字体!  发表于 2020-10-15 17:24
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发表于 2020-10-14 05:05 | 显示全部楼层
本帖最后由 永远 于 2020-10-14 05:18 编辑
elim 发表于 2020-10-14 04:14
题:计算\(\;\displaystyle{\small I=\int_0^{\infty}\frac{x}{e^x-1}}dx\)
解:\(\displaystyle{\small I ...


Nice Question好多年前的老贴,老答案我来搬运一下

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发表于 2020-10-14 07:00 | 显示全部楼层
楼上 elim永远 的解答帖子很好!已收藏。
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 楼主| 发表于 2020-10-15 08:25 | 显示全部楼层
谢谢各位!!我懂了,太感谢了
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 楼主| 发表于 2020-10-15 08:26 | 显示全部楼层
谢谢各位!!我懂了,太感谢了

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祝贺! 注意积分与级数和运算的可交换性依据.  发表于 2020-10-15 09:03
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发表于 2020-10-15 09:57 | 显示全部楼层
求和符号与积分号交换的前提是一致收敛

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怎么检验一致收敛性?  发表于 2020-10-15 10:59
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发表于 2020-10-15 21:45 | 显示全部楼层
本帖最后由 永远 于 2020-10-15 21:47 编辑

怎么检验一致收敛,是个不错的话题,有待思考
这是e老师的专业,他的强项
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发表于 2020-10-15 23:27 | 显示全部楼层
一致收敛话题还不至于成为专业. 不知道怎么检验所涉及到的一致收敛性, 主贴问题的解答对对援引者就只能算是"顺"来的, 没真弄懂. 工科理科数学的差别大致就表现在这些地方.
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发表于 2020-10-16 14:25 | 显示全部楼层
谢谢楼上e老师的批评与指导,还望多多指教,以便于后人学习
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