求定积分 ∫(0,+∞)2x/(e^x-1)dx

李翔飞

请问该积分为何最后结果为-π^2/3

elim

题：计算\(\;\displaystyle{\small I=\int_0^{\infty}\frac{x}{e^x-1}}dx\)
解：\(\displaystyle{\small I}\,\;\overset{e^{-x}=u}{=\hspace{-3px}=}{\small\;-\int_0^1\frac{\ln u}{1-u}}du\;{\small\overset{u=1-v}{=\hspace{-3px}=}\;-\int_0^1\frac{\ln(1-v)}{v}}dv\)
\(\qquad\displaystyle\small\quad\,=\int_0^1\sum_{k=1}^{\infty}\frac{v^{k-1}}{k}dv=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.\quad\square\)

永远

elim 发表于 2020-10-14 04:14
题：计算\(\;\displaystyle{\small I=\int_0^{\infty}\frac{x}{e^x-1}}dx\)
解：\(\displaystyle{\small I ...

Nice Question好多年前的老贴，老答案我来搬运一下

luyuanhong

楼上 elim 和 永远 的解答帖子很好！已收藏。

李翔飞

谢谢各位！！我懂了，太感谢了

李翔飞

谢谢各位！！我懂了，太感谢了

elim

一致收敛话题还不至于成为专业. 不知道怎么检验所涉及到的一致收敛性, 主贴问题的解答对对援引者就只能算是"顺"来的, 没真弄懂. 工科理科数学的差别大致就表现在这些地方.

doletotodole

这个高数没有教啊, 我的天, 老师以前说这个复杂不讲了.

elim

如果只考虑幂级数，情况会简单很多。另外还需要一个Abel定理处理收敛圆边界点的情况。这种事反复出现在大量积分，级数计算上，我找时间证明一个实用的一般结果。

elim

产能过剩，內外循环萎缩．工作不易．是否考虑学汽车维修？估计这方面需要还是长期的．