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化简 ∑(k=0,n)C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)log[p^k(1-p)^(n-k)]

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发表于 2020-10-14 19:50 | 显示全部楼层 |阅读模式
\(\sum_{k=0}^n [\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} log( p^k (1-p)^{n-k})]\)
尝试了一些数值,最终的结果应该与n成正比(p为定值时),与p的关系如下所示(n为定值时):

化简后的表达式应该是\(n*f(p)\)的形式

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 楼主| 发表于 2020-10-16 11:05 | 显示全部楼层
本帖最后由 Chaptain 于 2020-10-16 11:16 编辑

\(\sum_{k=0}^n [\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} log( p^k (1-p)^{n-k})]\)
\(=\sum_{k=0}^n [\binom{n}{k}kp^k (1-p)^{n-k} log( p)]+\sum_{k=0}^n [\binom{n}{k}kq^k (1-q)^{n-k} log( q)]\)

其中\(p+q=1\)

\(\sum_{k=0}^n [\binom{n}{k}kp^k (1-p)^{n-k} log( p)]=log(p)\sum_{k=0}^n [\binom{n}{k}kp^k (1-p)^{n-k}]\)

其中\(log(p)\)后面的部分是计算二项分布\(B(n,p)\)期望的表达式,其结果为\(np\),则

\(\sum_{k=0}^n [\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} log( p^k (1-p)^{n-k})]\)
\(=\sum_{k=0}^n [\binom{n}{k}kp^k (1-p)^{n-k} log( p)]+\sum_{k=0}^n [\binom{n}{k}kq^k (1-q)^{n-k} log( q)]\)
\(=nplog(p)+nqlog(q)\)
\(=nplog(p)+n(1-p)log(1-p)\)

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