今有物不知其数…

费尔马1

今有物不知其数，三、三数之余2，五、五数之余1，七、七数之余4，13、13数之余10，55、55数之余21，56、56数之余39，问物几何？

费尔马1

老师们您好，学生的这个题您采用剩余定理能否解出？

独舟星海

可以采用递推法求出：三、三数之余2→,2，5,8,11,14，......；五、五数之余1，在3*5之中只有11符合；11,26,41,56，.....；七、七数之余4，在3*5*7=105中，只有11,116,221,326，......；13、13数之余10，mod（105，13）=1，从11开始，接下来是12,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，正好一周，即11+12*105=1271，这时周期值为：105*13=1365；55、55数之余21，55与1365有共同约数5，所以它们的循环周期是：55*1365/5=15015，在1365循环11次中得出现余数21，mod（1365,55）=45，每次以45递增，mod（1271,55）=6,  6垫底，51,96,141,186，.......，mod（186,55）=21，则有1271+4*1365=6731,6731+15015,6731+2*15015，.....，如此循环；56、56数之余39，56与15015有共同因子7，所以，循环周期是：56*15015/7=120120,mod（15015，56）=7，每次以7递增（最多8次，包括0起步），垫底数：mod（6731,56）=11，18,25,32,39,46,53,4结束；所以最终结果为：6731+4*15015=66791，这是基数，通解=66791+n*120120，n为自然数（如果自然数不包括0的话，当n取0时也成立）。这些分析方法，可以运用到素数的分析上，或者限定条件下线性方程正整数（或者素数解上）。

ysr

题：
今有物不知其数，三、三数之余2，五、五数之余1，七、七数之余4，13、13数之余10，55、55数之余21，56、56数之余39，问物几何？

解：
21/5余数1，
39/7余数4，
与前面不矛盾，所以，有解，
3*5*7*13*11*8=120120，
120120/3=40040，
120120/5=24024，
120120/7=17160，
120120/13=9240，
120120/55=2184，
120120/56=2145，
40040模3 的逆元为：2，则满足3，3数余2的为：2*40040*2=160160，
24024模5 的逆元为：4，则满足5，5数余1的为：4*24024*1=96096，
17160模7 的逆元为：5，则满足7，7数余4的为：5*17160*4=343200，
9240模13 的逆元为：4，则满足13，13数余10的为：4*9240*10=369600，
2184模55 的逆元为：24，则满足55，55数余21的为：24*2184*10=524160，（因为96096/55=1747余11，加10就会余数为21），
2145模56 的逆元为：33，则满足56，56数余39的为：33*2145*7=495495，（因为343200/56=6128余32，加7就会余数为39），
495495/56=8848余7，所以，正确，
160160+96096+343200+369600+524160+495495=1988711，
1988711/3=662903余2，
1988711/5=397742余1，
1988711/7=284101余4，
1988711/13=152977余10，
1988711/55=36158余21，
1988711/56=35512余39，所以，都符合实际，正确！

ysr

1988711/120120=16余66791，所以，最小解为66791.

ysr

求40040模3 的逆元的手工计算：（我是用程序算出来的，其实就是古人说的求余数为1的乘率）
40040/3的余数为2，2*2/3余数为1，所以，逆元为2.
其它依次类推，2184/55=余39，要至少试验23次，得到24*39/55=余数1，
2145/56余数17，至少32次得到33*17/56余数1.
手工计算是费劲，需要技巧，注意具体问题与普遍公式的区别，特殊的差异，题目多拐个弯就容易出错，注意！
比如：96096/55=1747余11，不是余数为0，后面的一项必须要加上11才能为21，且加数必须为5的倍数（或其他的前面的模，一般都对不必太在意）。
具体问题具体分析吧。普遍的方法中有所变化。

独舟星海

记住一条即可，任意数做被乘数，从0递增到P-1倍，加任意一个数，在这p个数中一定有一个数被P整除。等差数列如下：m+（i-1）T，1≤i≤P,则此数列中一定有一个值被P整除。m为事先给的值，T为周期值（或者跨度数，步长），P为给定的值，且与m互质。

费尔马1

独舟星海老师与ysr老师的答案都是对的，非常感谢两位老师关注并解答。
学生我下班回家，才解出来答案也是120120n+66791，即最小解是66791。
这类题很有意思啊！请老师们以后多多指点！谢谢老师。

费尔马1

ysr老师您好:
您看看，55=5*11，55除余21，21/5余1，所以，可以在原题中舍去5、5数之余1；同理，56=7*8，可以舍去7除余4。这样把题变成:
今有物不知其数，三、三数之余2，13、13数之余10，55、55数之余21，56、56数之余39，问物几何？
3 13 55 56整体互质，就可以正常求解了。
当然，学生我还有我自己的解法，快速简捷，近似于独舟星海老师的递推法，可以称之为“连环不定方程法”。

ysr

方法有多种，好，只要简便计算就好！最小值是唯一的。