证明：存在第一行为整数 a1,…,an 的 n 阶可逆整系数矩阵的充要条件是 a1,…,an 互素

wilsony

谁能证明？

luyuanhong

wilsony

谢谢陆老师！
有点没大看懂。为什么当最大公因数d大于等于2时将第一行元素都除以d取余数都为零；而d=1时第一行元素
都除以d取余数不也是为零吗?

luyuanhong

当 d≥2 时，有些元素除以 d 的余数是 0 ，有些元素除以 d 的余数不是 0 。

特别是 P 第一行的余数都是 0 ，所以与 P 对应的矩阵秩小于 n 。而与单位阵 In

对应的矩阵仍是单位阵，秩等于 n 。由于不可能使得秩小于 n 的矩阵变成秩等于

n 的矩阵，这就说明了不可能将矩阵 P 变成单位阵 In 。

当 d=1 时，任何元素除以 d 的余数都是 0 ，与 P 对应的矩阵变成了 0 矩阵，

秩等于 0 。与单位阵 In 对应的矩阵也变成了 0 矩阵，秩也等于 0 。这时就

不能按照上面的推理，说不可能将矩阵 P 变成单位阵 In 了。