一文搞懂代数几何发展史（二）

luyuanhong

一文搞懂代数几何发展史（二）

作者 | 陈跃
来源 | 科学出版社数学教育

欢迎回来，本文是《一文搞懂代数几何发展史》的第二部分，我们继续追本溯源说历史。

四、将抽象代数方法引入到代数几何中

要真正严格地建立起代数几何的理论基础，离不开抽象代数，这是因为抽象代数能够在最一般的情形中准确地描述代数簇的性质。在1900到1930年之间，已经开始出现了一些抽象代数的理论，包括群、环、域和模等理论。群论主要来源于19世纪的伽罗瓦(Galois)理论，而环与理想的概念则来自于戴德金的代数数论，它们的最早雏形是数域的代数整数环及其理想的概念。克罗内克不仅从代数数论中抽象出了一般的环与理想的概念，并且拉斯克(Lasker)在20世纪初期就发现了理想与代数簇之间一些最基本的天然联系，例如不可约仿射代数簇 V 所对应的“坐标环(coordinate ring)”A(V) 一定是整环，而不可约仿射代数簇的几何维数实际上就等于这个整环的商域在复数域上的超越次数等。


图6： 伽罗瓦

这样我们就看到，在仿射代数簇 V 与坐标环 A(V) 之间有一一对应的关系，如果我们将若干个仿射代数簇适当地“拼贴”在一起，那么就可以得到一个传统意义上的代数簇。因此仿射代数簇是代数簇的基本组成部分。例如 n 维复射影空间 CP^n 就是一个最简单的代数簇，它是由 n+1 个普通的 n 维复欧氏空间经过拼贴而成的。

除了代数数论是环与理想理论的主要起源之外，希尔伯特(Hilbert)的代数不变量理论也是理想理论的重要来源。著名的希尔伯特零点定理是说：多项式空间 k[x1,…,xn] 中的极大理想和 k^n 的点是一一对应的，因此坐标环 A(V) 的极大理想就与仿射簇的点一一对应。这其实也意味着可以根据代数的信息(即理想)来构造几何的对象，这是后来概形(scheme)概念能够产生的最原始的想法。


图7： 希尔伯特

接着克鲁尔(Krull)进一步建立了更多的关于环的理想理论，包括环的局部化(localization)的概念、整闭环的性质、赋值理论和克鲁尔维数等内容。对代数几何来说，环的局部化是非常基本的概念。对于仿射代数簇 V 来说，整环 A(V) 的商域是它的有理函数域 K(V)。对 V 上的任何点 P ，都有一个局部环，后来人们发现，这些局部环的全体组成了可以刻画仿射代数簇 V 的几何特征的结构层 OV(structure sheaf)。

E.诺特(E.Neother)是20世纪最伟大的女数学家，她也是代数几何学家马克斯·诺特的女儿。在E.诺特之前，代数学基本上只局限在实数域和复数域中进行研究，是E.诺特首先认识到代数结构是代数学中的首要概念，她对建立起抽象代数学的基本理论框架起着主要的作用，范德瓦尔登(van der Waerden)写的著名教材《代数学》就是为系统总结E.诺特和E.阿丁(E.Artin)的环论以及其他抽象代数的理论而写的。E.诺特将戴德金的代数数域的理想分解理论推广到一般的环上，得到了许多像“任何理想均可表示为准素理想的交”这样的基本定理，特别是关于“诺特环”等在代数几何中最常用到的有关概念和理论。


图8：E.诺特

范德瓦尔登也对代数几何的逻辑基础建设有过重要的贡献，他在1930年代写了一系列的文章，用抽象代数的方法解释了以往代数几何学家们直观笼统的“一般点(generic point)”和“特殊化(specialization)”的真正含义，给出了在相交理论中最基本的代数簇相交重数(intersection multiplicity)的严格定义。尤其值得一提的是：范德瓦尔登的学生和主要合作者周炜良也参与了代数几何基础的重建工作。周炜良是一位出生于上海的中国数学家，他的一生对代数几何有着许多的贡献，其中最有名的是，他证明了代数簇上闭链(cycle)的有理等价性定理，从而就可以定义一种重要的环——周环(Chow Ring)，它现在是相交理论中的一个基础术语。

另一位在代数几何中大规模引入抽象代数方法的数学家是扎里斯基(Zariski)。扎里斯基原来是意大利学派三位大师的学生，他对经他整理的意大利学派成果的证明严密性不足而感到不安和失落，所以他决定用抽象代数方法来重新给出所有的证明。开始的时候，扎里斯基仅仅是将几何的语言“翻译”成代数的语言，但是他很快意识到将经典代数几何里的定理平行地翻译成抽象代数的语言是远远不够的，很多时候扎里斯基必须自己重新发明新的抽象代数概念，并推导出相关的抽象代数定理，才能满足描述代数簇复杂性质的需要。例如在给出重要的代数曲面奇点解消定理证明的时候，扎里斯基就第一次成功地将环论中的整闭包的理论与克鲁尔的赋值环的理论运用到了代数几何中，并且还创造了一个被称为“正规(normal)”的新的抽象代数概念。

五、现代整体微分几何方法的引入

在1913年，数学家外尔(Weyl)在研究克莱因(Klein)的黎曼面著作的基础上，写出了《黎曼面的概念》这本极重要的著作，其中首次给出了黎曼面的现代严格定义，并系统整理了黎曼面的解析理论。从外尔给出的黎曼面内蕴定义出发，人们就不难得到高维微分流形的一般定义，即微分流形是局部同胚于欧氏空间的拓扑空间，并且所有的坐标邻域之间的转换函数都是可微函数。当然，代数簇不一定是微分流形，因为它可以包含奇点。然而从研究微分流形的过程中所产生的几何方法和理论大多都可以用到代数几何当中。实际上，微分流形的定义就是后来的概形定义的源头，这两个定义都强调不依赖外部的空间而独立存在，而且局部都是与比较简单的几何对象同胚(或同构)。

此时列维-齐维塔(Levi-Civita)为了弄清楚黎曼所发现的复杂的曲率张量的真正含义，而提出了黎曼流形中“平行移动”的简单概念。外尔则进一步将它发展成为“仿射联络(affine connection)”这一现代微分几何的基本概念。所谓“联络”，简单地说就是切空间的求导法则(用于刻画流形的弯曲程度)。法国数学家E.嘉当(E.Cartan)在其所使用的著名的“活动标架”方法的基础上提炼出了“向量丛(vector bundle)”上的联络的思想(后来人们又从向量丛的理论中抽象出了更一般的“纤维丛(fiber bundle)”理论)。E.嘉当还用外微分形式来表示向量丛上的联络。他在研究李群(一种特殊的微分流形)的整体拓扑性质的时候，发现从外微分形式中可以直接得到流形的几何与拓扑不变量，从而找到了分析与拓扑之间的深刻联系。E. 嘉当发现，由微分流形上的所有的外微分形式确定的德拉姆(de Rham)同调群与M的上同调群(cohomology group)是同构的(“同构”这一术语的意思是说，在代数上这两个群是完全一样的)，从而就可以用外微分形式来表示代数簇的几何不变量。


图9： 陈省身

陈省身先生继承了E.嘉当的纤维丛思想，在1946年用复流形M的纤维丛E上的外微分形式确定了M的上同调群的元素——“陈(示性)类”。这个概念建立起了纤维丛的上同调群与微分流形的上同调群之间的直接联系，显示了纤维丛对于描述微分流形的整体拓扑性质的重要性。后来人们逐渐发现，陈类是表达高维代数簇的黎曼-罗赫定理的基本工具，而纤维丛则是描述代数簇几何性质的基本语言(如所周知，纤维丛也是现代数学物理理论中的一个基本概念)。

而要让纤维丛真正进入代数几何，靠的是另一位大数学家韦依(Weil)的努力。1950年，韦依首先发现纤维丛理论可以用到代数几何中，这是因为他看出复流形上的每个被称为“除子”的特殊子流形都对应了一个线丛(line bundle，即秩为1的向量丛)，而反映流形拓扑性质的主要指标欧拉示性数也必须用流形切丛的陈类来表达。这样，纤维丛就和差不多同时发展起来的层论(sheaf theory)融合在一起，成为了推动代数几何向前发展的强有力武器。

六、概形理论的创立

韦依可以说是现代数学中涉猎最广的数学家，他对20世纪几个主要的基础数学分支学科都作出了重要的贡献。韦依研究代数几何的动机主要是来源于数论——他很早就想证明著名的黎曼猜想。韦依采用的是间接迂回的战术。简单地说就是先对一些比较简单的域(例如有限域)证明黎曼猜想，从中取得经验，然后再来对付最难的复数域上的黎曼猜想。

为了证明有限域上的黎曼猜想，韦依需要使用经典的代数几何方法，所以他必须先解决经典代数几何的概念模糊不清、理论基础不稳的严重问题。为此他在1946年专门写了一本专著《代数几何基础》，在其中韦依仿照微分流形的定义，首先提出了内蕴的抽象“代数簇”的定义，他用有理函数作为转换函数，将局部的比较简单的仿射代数簇粘贴在一起，成为了一个抽象的代数簇，从而彻底摆脱了外在射影空间的束缚，极大地扩展了代数几何的适用范围。韦依用交换代数的语言，重新引入了代数几何中的一批重要的概念，包括闭链、一般点、特殊化、相交重数和曲面上的对应等。

1946年，在上述这本书出版之后不久，韦依终于证明了他的关于有限域上代数曲线的黎曼猜想。然后在1948年，韦依根据他对阿贝尔簇和格拉斯曼簇(Grassmann variety)等高维代数簇在有限域上的点数所做的计算结果，提出了高维代数簇上与黎曼猜想类似的“韦依猜想”。这个猜想充分显示了在有限域上代数簇的算术(arithmetic，即数论)与复数域上的代数簇的拓扑之间具有非常深刻的内在联系。

要想证明韦依猜想，数学家们需要太多的数学工具，其中就包括还没有被创造出来的概形理论。概形的概念中包含了两个方面的内容，第一个内容是抽象的“几何对象”，第二个内容是它上面的各种“函数”，也就是“层”。层论最早是由法国数学家勒雷(Leray)在20世纪40年代初提出，层的概念来源于复变函数中的全纯(解析)函数，它的元素既可以是函数，也可以是包括了群、环和纤维丛的截面(section)等在内的其他各种对象，因此它可以看成是纤维丛的某种形式的推广。层的优点是包含了纤维丛中的各种几何与拓扑信息。例如通过建立层的上同调群，可以从局部的信息来得到拓扑空间整体的信息，并且还可以处理带有奇点的复杂几何空间或流形。20世纪50年代，数学家H.嘉当(E.嘉当的儿子)在研究多复变函数论的时候，发现勒雷的层论非常有用。他发现意大利学派的许多复代数几何不变量都可以通过层的上同调群语言表示出来。H.嘉当还进一步给出了环层空间(ringed spaces)的定义，它的作用是将简单的空间“粘贴”在一起。他还与艾伦伯格(Eilenberg)一起创立了在代数几何中大量使用的同调代数基本理论体系，证明了同调代数中的许多定理。


图10： 塞尔

另一位大力推进层论进入代数几何的重要数学家是塞尔(Serre)。塞尔先在一种允许有奇点的Stein复流形上引入了十分重要的凝聚层(coherence sheaf)的概念(它可以看成是纤维丛的某种模拟)，凝聚层的上同调群具有十分良好的性质。接着塞尔又看出层论也可以用在比Stein流形更特殊的复代数簇上，于是他就立即系统地将层论大规模运用到了代数几何中。塞尔为代数几何构思了

一个最基本的研究对象，称为“塞尔簇(Serre variety)”，其中充分吸收了H.嘉当的环层空间的概念。塞尔认为这是一个比韦依的不用层论的抽象代数簇更简单的概念。不过和韦依的抽象代数簇一样，塞尔簇也有自己的缺陷，例如有一个涉及“完全性(complete)”的附加条件就限制了塞尔簇的使用范围。

实际上在20世纪50年代的时候，已经有人想到了概形这个比塞尔簇更基础的概念，但是没有人真正敢去实际建立这个概形理论。这是因为如果要将概形作为代数几何的最基本的研究对象，那么就等于是将迄今为止建立起来的整个代数几何的理论大厦推倒重来，并且这个概形理论需要综合一百多年来所产生的代数、分析、几何、数论与拓扑等学科的大量主要成果，以其工作量之浩大，这无疑就是一个“不可能完成的任务”。这个空前庞大的概形理论的诞生需要一个像格罗滕迪克那样的超级天才式的人物。

1928年3月28日，格罗滕迪克出生于德国柏林的一个犹太家庭，他在开始其数学研究的生涯时，所研究的领域是泛函分析中的拓扑线性空间。在这之后，格罗腾迪克投入到了同调代数的研究中。也是在那个时期，他开始了与塞尔的长期著名通信。从塞尔以及其他的数学家那里，格罗滕迪克学到了许多现代数学和代数几何的基本知识，转而对代数几何和数论产生了浓厚的兴趣。他研究建立代数几何基础理论的强烈动机之一其实也是为了想证明那个与黎曼猜想类似的有限域上高维代数簇的韦依猜想。


图 格罗滕迪克



1958年8月，格罗滕迪克在爱丁堡举行的国际数学家大会上作了一个报告。他的这场报告不是对他过去已取得成果的汇报，而是对其未来十年工作的预告。后来被誉为代数几何的圣经的八卷《代数几何基础》(简称EGA)，就是格罗滕迪克在1960-1967年间与迪厄多内(Dieudonne)合作完成的。在写完EGA之后，格罗腾迪克和他的合作者们一起又马不停蹄，继续撰写缩写代号为SGA的另外八卷系列代数几何专著。就这样，通过总篇幅达7500页的这两套书的写作，格罗腾迪克在20世纪60年代末，终于将经典的代数簇理论推广成了适用面更广的概形理论，真正为整个代数几何学建立起了一个牢固的逻辑基础，并且彻底重写了代数几何。

格罗腾迪克的概形理论将代数几何打造成了一个在很大程度上将几何、代数、数论与分析完美统一起来的逻辑推理体系，它具有许多经典代数几何理论所没有的优点。例如在概形上，可以有严格的“一般点(generic point)”、“基变换(change of bases)”、以及“幂零元(nilpotent element)”等非常有用的概念，并且可以用精细的抽象代数的方法来研究几何对象的各种抽象的“几何性质”，这样就为解决一大批重要的经典数学问题开辟了道路。同样在概形上，我们可以做所有的在经典代数簇上曾经做过的事情，例如可以定义广义的“纤维丛”(即模层)、“除子”和“微分”，可以有层的上同调理论(包括Serre对偶定理等)，可以建立严格的代数簇分类理论和黎曼-罗赫定理，以及建立严格的相交理论(包括周环和陈类)等。在概形上也能够做以前根本无法做到的事情，例如可以构造模空间的严格理论，尤其是可以建立能够应用于数论的“算术代数几何”理论等。

后来的历史发展证明，当经典代数几何的逻辑基础问题被彻底解决后，代数几何便立即取得了巨大进展，并因此促进了20世纪后半叶现代数学的大发展。下面列举一些现代数学中因代数几何的进步而获得的重大成果，它们分别是：德利涅(Deligne)证明了数论中韦依猜想、广中平佑解决任意维数代数簇的奇点解消问题、芒福德(Mumford)建立了一般模空间的理论、法尔廷斯(Faltings)证明了数论中的莫德尔(Mordell)猜想、森重文完成了3维代数簇分类、怀尔斯(Wiles)证明了数论中著名的费马大定理以及吴宝珠证明了朗兰兹(Langlands)纲领中的基本引理等。不仅如此，伴随着这些重大问题的解决过程，同时又出现了一大批全新的数学研究领域，其中尤其令人想不到的是概形理论对于数学物理研究的巨大推动作用，而在量子场论中出现的许多新思想（例如弦理论、镜像对称和量子上同调等）反过来又促进了对于代数簇的拓扑和计数几何的研究。

人们常说格罗滕迪克“有一种关于数学可能是什么的高屋建瓴般的观点”。数学家巴斯(Bass)就曾评价：格罗滕迪克用一种“宇宙般普适”的观点改变了整个数学的全貌。我们不妨可以简单地将代数几何看成是“用多项式研究几何、用几何的想法研究多项式”的学科。特别是从代数几何中体现出来的代数与几何相互作用的方式，具有普遍的意义，目前这种思想方法已经渗透到了几乎所有的现代数学各主要分支学科中。