求 f(θ)=√(10-6cosθ)+√(17/8-3√2/2sinθ)+√(19-2√2cosθ-8sinθ) 的最小值

wintex

三角函數

波斯猫猫

求 f(θ)=√(10-6cosθ)+√(17/8-3√2/2sinθ)+√(19-2√2cosθ-8sinθ) 的最小值.

思路：令cosθ=x，sinθ=y，
则f(θ)=√(10-6cosθ)+√(17/8-3√2/2sinθ)+√(19-2√2cosθ-8sinθ)
=√(3-x)＾2+y＾2）+√【(3/2√2-y)＾2+x＾2）】+√【(√2-y)＾2+（4-x）＾2）】。
本题所求最小值，就是要在单位圆x＾2+y＾2=1上求一点P（x，y）,使得点A（3，0）、B（0，3/2√2）、C（√2、4）分别到P的距离之和最小。
经过计算可知，直线AB与该单位圆相切，且与直线OA垂直于切点P，容易算得其最小值是AB+PC=-1+21√2/4(此时，θ=2kπ+arctan2√2).

天山草@

θ=1.23095941736  时有最小值   6.424621202458749006209。
θ=4.025563471839 时有最大值 10.85007649324691424143538。
最小值的解析表达式好像应该有，不知道咋算。即使有解析式，原题如果改一个数字，解析式可能就不存在了。

波斯猫猫

通过求导的途径一定有，估计那是很艰辛的。

天山草@

波斯猫猫 发表于 2020-10-30 21:58
求 f(θ)=√(10-6cosθ)+√(17/8-3√2/2sinθ)+√(19-2√2cosθ-8sinθ) 的最小值.

思路：令cosθ=x，si ...

波斯猫猫的解题思路很对，只是有些数据有误。下面是改正以后的文字：



附图如下——

天山草@

如果原题改一下数据，做起来就没有这样容易了。也就是说，这种解法还不是一个通用的方法。
一般题目是下面这样的——
在平面上任意给定三个定点 A, B, C，在单位圆上确定一个点 P，使 PA+PB+PC 为最小。另在单位圆上确定一点 Q，使 QA+QB+QC 为最大。
这个问题如何解？

波斯猫猫

最小值是AB+PC=-1+21√2/4(此时，θ=2kπ+arctan2√2，k∈Z).这个数据没有问题。

波斯猫猫

天山草@ 发表于 2020-10-31 15:02
如果原题改一下数据，做起来就没有这样容易了。也就是说，这种解法还不是一个通用的方法。
一般题目是下面 ...

以本题为例，不可能设计出既有最小值又有最大值，二者只能取其一。估计设计本题时，先有图形和一些相关数据，由此再给出了拟题者想要的结果和相应的“函数”式。不然，怎么能做到如此恰到“好处”？

天山草@

这个问题的一般形式：
平面上有 n 个点和一个定圆 （或其它曲线），在定圆上找一个点 P，使 P 点到其它点的距离之和最小或最大。

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 和  天山草@ 的解答很好！已收藏。