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求解 x[x[x[x]]]=88,其中 x 为实数,[ ] 表示取整运算。

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发表于 2020-11-18 08:32 | 显示全部楼层 |阅读模式
求解 x[x[x[x]]]=88,其中 x 为实数,[] 表示取整运算。
 楼主| 发表于 2020-11-18 09:33 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2020-11-18 10:29 编辑

现求解 x[x[x[x]]]=88,由于 开88的 4 次方 = 3.06…,故知  3.06<x<4,这时x[x]=3x,而 [x[x]] =[3x] 的值需分情况讨论。

1)3.06<x<3.333…,此时 [x[x]] = 9,x[x[x[x]]]=x[9x],[9x] 依情况又有 27,28 两种可能。当 [9x]=27时,x[x[x[x]]]=27x=88,解得 x =3.259...,经验证 [9x]=29,不符合要求。再考虑 [9x]=28,于是 x[x[x[x]]]=28x=88,解得 x=  22/7,经验证,此时 x 满足题目要求。
2)3.333…≤x≤3.666…,此时 [x[x]] = 10,x[x[x[x]]]=x[10x]>3.33×10×3>88,无解。
3)3.666…≤x≤4,此时 [x[x]] = 11,x[x[x[x]]]=x[11x]>3.6×11×3>88,无解。

[更正兼补充]
故得 x>0 时,x=22/7 为唯一之解。
x<0 时不知有没有解。

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 楼主| 发表于 2020-11-18 09:55 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2020-11-18 17:04 编辑

x > 0 时找到一个更简单的解法。

易知  x>3,由此,x[x[x[x]]] >= x[3[3[3]]] = 27 x = 88,于是 3 < x < 88/27 = 3.259 ...

由此知 [x]=3,[x[x]] <= 3*3.259 <10 = 9,[x[x[x]] = [9x] = 27、28 或 29。x[x[x[x]]]=27x 或 28x 或 29x,分别求解并验证得 x=22/7
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发表于 2020-11-20 22:25 | 显示全部楼层
楼上 uk702 的解答很好!已收藏。
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