求助：关于幂级数的方程

ccmmjj

在浏览科学网关于数值计算网页的时候，看见这种方程，
2x-2a = x^2/2! - x^3/3! + x^4/4! - x^5/5! + ...
解出来居然是这样的：
x = a + 1/4*a^2 + 1/24*a^3 - 1/192*a^4 - 13/1920*a^5 +...
以前学复变函数的时候似乎有学过逆级数的求法，但似乎不大一样，也记不清楚了。
对这题的解法，我不知道这是怎么做的，请教知者，特别是eilm兄。

uk702

最笨笨笨方法，假设 x = a + c2 * a^2 + O (a^3)，代入 2 a = 2 x - x^2/2 + O (x^3)，得

2 a = 2 a + 2 * c2 * a^2 + O (a^3) - 1/2 a^2 + O (a^3)  =>  c2 - 1/2 = 0  => c2 = 1/4

elim

硬干:

elim

对于这个问题, 我们有 \(x'(a) =\frac{2}{2+x-2a},\;\)
\(x^{k+1}(a) = (1-\frac{\partial}{\partial a})x^{k}(a)\), 没有什么更简单
的算法了.
一般地有拉格朗日逆幂级数数算法, 比这个只有更繁.

只是个人看法, 可继续关注网上的有关讨论.

xiaoshuchong

通过一段gp代码，算得展开式的前20项系数
[1, 1/4, 1/24, -1/192, -13/1920, -47/23040, 73/322560, 2447/5160960, 16811/92897280, -15551/1857945600, -1726511/40874803200, -18994849/980995276800, -10979677/25505877196800, 2983409137/714164561510400, 48421103257/21424936845312000, 135002366063/685597979049984000, -778870772857/1793102406746112000, -232033147779359/839171926357180416000, -1305952009204319/31888533201572855808000, 58740282660173759/1275541328062914232320000, 1862057132555380307/53572735778642397757440000]

在oeis上找到了系数分子构成的数列oeis.org/A274447，这个a应是W(exp(x)), W是lambert function。
有意思的是，系数的分子满足如下通项式(oeis.org/A001662)：
a(n) = Sum_{k=0..n-1} (n+k-1)!*Sum_{j=0..k} ((-1)^(j)/(k-j)!*Sum_{i=0..j} (((1/i!)* Stirling1(n-i+j-1,j-i))/(n-i+j-1)!))*2^(n-j-1))), n > 0
a(0)=1.



附录：
pari/gp 代码
  K = List([1]);
    my(p,end);
    end = 20;
    for(n = 1,end,
        x = sum(k=1,n,K[k]*a^k) + x1*a^(n+1) + O(a^(n+2));
        s = (x+1-exp(-x))/2;
        p = polcoef(s,n+1,a);
        p = -polcoef(p,0,x1);
        print(s);
        listput(K,p);
    );
    print(K);