转载一个数学竞赛题的漂亮证明：求证 73！＜37^73

永远

luyuanhong

楼上 永远 转载的帖子很好！已收藏。

uk702

极限情况是斯特林公式，用最纯朴的语言将 n 的阶乘与 e、pi 联系起来，甚至还跟伯努利常数联系起来。
数学上最能玩出花来的公式之一。

uk702

由它推导出来的下面这两个公式也具备相当的仪式感。

ccmmjj

这个数列是怎么推出的？

王守恩

谢谢永远！挺不错的题目。

1，\(还有更好的。73!<(\frac{73*5}{13})^{73}\)
2，\(n>184时，还有更好的。n!<(\frac{n*3}{8})^n\)
3，\(还有更好的。n!<(\frac{n*7}{19})^n\)
4，......
5，\(还有更好的。n!<(\frac{n*1001}{2721})^n\)
6，......

   \(极限情形应该与"e"有关。\)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\frac{1}{e}\)

uk702

王守恩 发表于 2020-11-20 15:24
谢谢永远！挺不错的题目。

1，\(还有更好的。73!184时，还有更好的。n!

可能比较愚昧，楼主给的证明后半部分没看懂，即 n! < (2n+3/5)^n 是怎么来的，这个结论似在 n>5 时才成立。


另，#6楼给的某些结论可能省略了某些细节，建立在对充分大的 n的基础上才成立，比如 n! < (n*7/19)^n ，对于哪些 n 成立我还没计算出来（至少 n<3000都不成立），尽管理论上 由于7/19>1/e，对于充分大的 n 肯定是成立的。


用 MatheMatica 简单验证了一下：
n = 3000; n! > (7*n/19)^n
返回 True

n = 4000; n! > (7*n/19)^n
返回 False

uk702

使用初等方法我能想到的就这些了，不知#6楼王老师他的结论具体是怎么解的。

王守恩

uk702 发表于 2020-11-20 20:39
使用初等方法我能想到的就这些了，不知#6楼王老师他的结论具体是怎么解的。

谢谢永远！挺不错的题目。

1，\(还有更好的。73!<(\frac{73*5}{13})^{73}\)
2，\(n>184时，还有更好的。n!<(\frac{n*3}{8})^n\)
3，\(还有更好的。n!<(\frac{n*7}{19})^n\)
4，......
5，\(还有更好的。n!<(\frac{n*1001}{2721})^n\)
6，......
\(\displaystyle\frac{3}{8},\frac{7}{19},\frac{39}{106},\frac{465}{1264},\frac{1001}{2721},\frac{9545}{25946},...\)

\(这些都是\frac{1}{e}的渐近分数。每个分数开始用了，就永远可以用。\)

uk702

uk702 发表于 2020-11-20 07:05
由它推导出来的下面这两个公式也具备相当的仪式感。

记不清了，好像是这样的。