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转载一个数学竞赛题的漂亮证明:求证 73!<37^73

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发表于 2020-11-19 22:31 | 显示全部楼层 |阅读模式

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发表于 2020-11-19 23:30 | 显示全部楼层
楼上 永远 转载的帖子很好!已收藏。
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发表于 2020-11-20 07:01 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2020-11-20 07:10 编辑

极限情况是斯特林公式,用最纯朴的语言将 n 的阶乘与 e、pi 联系起来,甚至还跟伯努利常数联系起来。
数学上最能玩出花来的公式之一。
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发表于 2020-11-20 07:05 | 显示全部楼层
由它推导出来的下面这两个公式也具备相当的仪式感。

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不敢问:求知所驱,这公式怎么来的?我的电脑出不来。  发表于 2020-11-21 08:42

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发表于 2020-11-20 08:49 | 显示全部楼层
这个数列是怎么推出的?

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发表于 2020-11-20 15:24 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-11-20 15:33 编辑

谢谢永远!挺不错的题目。

1,\(还有更好的。73!<(\frac{73*5}{13})^{73}\)
2,\(n>184时,还有更好的。n!<(\frac{n*3}{8})^n\)
3,\(还有更好的。n!<(\frac{n*7}{19})^n\)
4,......
5,\(还有更好的。n!<(\frac{n*1001}{2721})^n\)
6,......

   \(极限情形应该与"e"有关。\)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\frac{1}{e}\)
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发表于 2020-11-20 17:55 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2020-11-20 18:58 编辑
王守恩 发表于 2020-11-20 15:24
谢谢永远!挺不错的题目。

1,\(还有更好的。73!184时,还有更好的。n!


可能比较愚昧,楼主给的证明后半部分没看懂,即 n! < (2n+3/5)^n 是怎么来的,这个结论似在 n>5 时才成立。


另,#6楼给的某些结论可能省略了某些细节,建立在对充分大的 n的基础上才成立,比如 n! < (n*7/19)^n ,对于哪些 n 成立我还没计算出来(至少 n<3000都不成立),尽管理论上 由于7/19>1/e,对于充分大的 n 肯定是成立的。


用 MatheMatica 简单验证了一下:
n = 3000; n! > (7*n/19)^n
返回 True

n = 4000; n! > (7*n/19)^n
返回 False
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发表于 2020-11-20 20:39 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2020-11-21 06:42 编辑

使用初等方法我能想到的就这些了,不知#6楼王老师他的结论具体是怎么解的。

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发表于 2020-11-21 08:13 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-11-21 08:25 编辑
uk702 发表于 2020-11-20 20:39
使用初等方法我能想到的就这些了,不知#6楼王老师他的结论具体是怎么解的。


谢谢永远!挺不错的题目。

1,\(还有更好的。73!<(\frac{73*5}{13})^{73}\)
2,\(n>184时,还有更好的。n!<(\frac{n*3}{8})^n\)
3,\(还有更好的。n!<(\frac{n*7}{19})^n\)
4,......
5,\(还有更好的。n!<(\frac{n*1001}{2721})^n\)
6,......
\(\displaystyle\frac{3}{8},\frac{7}{19},\frac{39}{106},\frac{465}{1264},\frac{1001}{2721},\frac{9545}{25946},...\)

\(这些都是\frac{1}{e}的渐近分数。每个分数开始用了,就永远可以用。\)

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懂了~  发表于 2020-11-21 08:29
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发表于 2020-11-21 10:09 | 显示全部楼层
uk702 发表于 2020-11-20 07:05
由它推导出来的下面这两个公式也具备相当的仪式感。


记不清了,好像是这样的。


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