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楼主: 永远

转载一个数学竞赛题的漂亮证明:求证 73!<37^73

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发表于 2020-11-22 01:38 | 显示全部楼层
本帖最后由 doletotodole 于 2020-11-22 01:39 编辑

利用平方差公式也可以证明.
1x2x...73 = (37-36)x(37+36)  x  (37-35)x(37+35)  x.... 37  = 37^2 - 36^2   x  37^2-35^2 .....x37
明显有小于37^(2x37) 即37^74

可以看出来, 这个不等式放缩的太离谱了.

不是我想出来的, 是刚刚给学校一个高一学生,他直接给出这个解法.

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王守恩 + 15 谢谢分享!

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发表于 2020-11-22 15:50 | 显示全部楼层
学习了老师们精彩的解法。
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发表于 2020-11-22 17:01 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-11-22 17:15 编辑

求证 73!<37^73
难的不会,先想简单的。
  3!<2^3
  5!<3^5
  7!<4^7
  9!<5^9
11!<6^11
13!<7^13
15!<8^15
17!<9^17
19!<10^19
21!<11^21
..........
73!<37^73

不妨大胆的总结一下:
\(n\ !<(\frac{n}{2——e})^n\)
再大胆的想一想:
伟大的“e”就是这样来的。


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发表于 2020-11-22 19:59 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-11-22 20:01 编辑
王守恩 发表于 2020-11-22 17:01
求证 73!<37^73
难的不会,先想简单的。
  3!

欣赏欣赏,伟大的“e”就是这样来的。
\(9!=(\frac{9}{2.1701565})^9\)
\(99!=(\frac{99}{2.6313620})^{99}\)
\(999!=(\frac{999}{2.7064105})^{999}\)
\(9999!=(\frac{9999}{2.7167804})^{9999}\)
\(99999!=(\frac{99999}{2.7181003})^{99999}\)
\(999999!=(\frac{999999}{2.7182605})^{999999}\)
\(9999999!=(\frac{9999999}{2.7182791})^{9999999}\)
\(99999999!=(\frac{99999999}{2.7182815})^{99999999}\)
\(999999999!=(\frac{999999999}{2.7182818})^{999999999}\)



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