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求 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}( x^a-(\frac{y}{ax^{a-1}}+x)^a))\;(a>0)\)

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发表于 2020-11-22 01:37 | 显示全部楼层 |阅读模式
题:计算 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\big( x^a-\left(\frac{y}{ax^{a-1}}+x\right)^a\big)\;(a>0)\)
 楼主| 发表于 2020-11-23 00:23 | 显示全部楼层
本帖最后由 elim 于 2020-11-22 09:30 编辑

题:计算 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\big( x^a-\left(\frac{y}{ax^{a-1}}+x\right)^a\big)\;(a>0)\)
解:据Taylor定理,\((1+t)^{\beta}=1+\beta t+O(t^2)\;(|t|<1)\)
\(\therefore\;\;\displaystyle\lim_{x \to \infty}\big( x^a-\left(\frac{y}{ax^{a-1}}+x\right)^a\big)=\lim_{x \to \infty}x^a\big( 1-\left(\frac{y}{ax^{a}}+1\right)^a\big)\)
\(\qquad\displaystyle=\lim_{x\to\infty}x^a\big(1-(1+\frac{y}{x^a}+o(\frac{1}{x^a}))\big)=-y\)

\(\qquad\boxed{\lim_{x \to \infty}\big( x^a-\left(\frac{y}{ax^{a-1}}+x\right)^a\big)=-y\;\;(a>0)}\)
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 楼主| 发表于 2020-11-23 02:13 | 显示全部楼层
试证 \(\beta=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\;\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}\big(n^{\beta}-(n-\frac{\pi}{\beta n^{1/\beta}})^\beta\big)=\pi\)
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发表于 2020-11-23 08:18 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-11-23 08:19 编辑
elim 发表于 2020-11-23 02:13
例 试证 \(\beta=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\;\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}\big(n^{\beta}-(n-\frac{\pi}{ ...

例 试证 \(\displaystyle\beta=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\ \lim_{n\to\infty}\big(n^{\beta}-(n-\frac{\pi}{\beta\ n^{1/\beta}})^{\beta}\big)=\pi\)
\(我们有:\displaystyle\lim_{x\to\infty}\big( x^a-(\frac{y}{ax^{a-1}}+x)^a\big)=-y\ \ 可得\)
\(\displaystyle\ \ \lim_{x\to\infty}\big(x^a-(x-\frac{y}{ax^{a-1}})^a\big)=y\ \ \ \ (1)\)
\(\beta=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\ 则\frac{1}{\beta}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)
\(\beta=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\ 则\beta-1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)
\(即:\frac{1}{\beta}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\beta-1\)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\big(n^{\beta}-(n-\frac{\pi}{\beta n^{1/\beta}})^{\beta}\big)\)
\(\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\big(n^{\beta}-(n-\frac{\pi}{\beta n^{\beta-1}})^{\beta}\big)\ \ \frac{(1)}{=}\ \ \pi\)
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 楼主| 发表于 2020-11-23 08:42 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2020-11-22 17:18
例 试证 \(\displaystyle\beta=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\ \lim_{n\to\infty}\big(n^{\beta}-(n-\frac{\pi} ...

干得好!  其实一点也不难.
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发表于 2020-11-23 09:01 | 显示全部楼层
楼上 elim王守恩 的帖子很好!已收藏。
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