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有一圆通过原点,求此圆在 y≥x^4 的范围内,半径 r 的最大值

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发表于 2020-11-22 10:42 | 显示全部楼层 |阅读模式
請問幾何

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发表于 2020-11-22 21:38 | 显示全部楼层
本帖最后由 Nicolas2050 于 2020-11-22 22:18 编辑

已知一个圆过原点,且落在y>=x^4范围内,求圆半径的最大值。
解:
由对称性可知,最大圆圆心落在y轴上,设半径为r,

x^2+(y-r)^2=r^2
即:
x^2+y*(y-2*r)=0
且有:
y=x^4
联立二方程且令 t=x^2>=0,得:

t+t^2*(t^2-2*r)=0
t(1+t*(t^2-2*r))=0
1+t*(t^2-2*r)=0  
2*r-t^2=1/t
r=1/2*(t^2+1/t)=1/2*(t^2+1/(2t)+1/(2t))
可以用均值不等式或求导得出
max(r)=(1/2)*3*(1/4)^(1/3)

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謝謝老師  发表于 2020-11-23 10:37
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发表于 2020-11-22 21:41 | 显示全部楼层



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謝謝陸老師  发表于 2020-11-23 10:33
北一女 501  发表于 2020-11-23 10:32
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发表于 2020-11-22 22:21 | 显示全部楼层

这里错了,根号里漏了r

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发表于 2020-11-22 22:32 | 显示全部楼层
谢谢楼上 Nicolas2050 指出!我原来的解答确实有错,现已更正。
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发表于 2020-11-23 06:18 | 显示全部楼层
计算器验算三个答案是相等的。
0.944940787
=(1/2)*3*(1/4)^(1/3)
=3/4*2^(1/3)
=3*(1/2)^(5/3)
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发表于 2020-11-23 10:15 | 显示全部楼层
一般答案要求用最简式(不过我这里不严格追究定义了),这个最简:
3*2^(-5/3)

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謝謝老師  发表于 2020-11-23 10:38
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发表于 2020-11-23 13:38 | 显示全部楼层
已知一个圆过原点,且落在y≥x^4范围内,求圆半径的最大值。
思路:由对称性可知,满足条件过原点的最大圆圆心必在y轴上,设半径为r,则圆心为C(0,r)。设y=x^4上异于原点的点A(a,a^4),其中,a≠0。要使圆C不超出范围y≥x^4,则AC≥r,即a^2+(a^4-r)^2≥r^2.由此,有2r≤a^4+1/(2a^2)+1/(2a^2)。而a^4+1/(2a^2)+1/(2a^2)最小值为〔3x(2)^1/3〕/2(当且仅当a^6=1/2时)。所以,有r≤〔3x(2)^1/3〕/4.
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