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arcsin(a/n)+arcsin(b/n)+arcsin(c/n)=π,n=2abc/√[(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)]

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发表于 2020-11-29 11:23 | 显示全部楼层 |阅读模式
     a,b,c 是已知条件(正整数)。
   \(\arcsin\left(\frac{a}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{c}{n}\right)=\pi\)
   \(n=\frac{2abc}{\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)}}\)

求助:有见过此类话题的,给个链接。谢谢!

我们称a,b,c(3个正整数)为一组解,
1,当 3 个数相同时,任意数组都可以有解。
2,当其中有 2 个数相同时,有 2 种可能:
   另 1 个数<相同数时,另 1 个数可以是从 1 开始的任意数有解;
   另 1 个数>相同数时,另1个数只要不大于\(\sqrt{2}\cdot\)相同数都可以有解。
3,当3个数都不相同时,譬如:
   a,b,c=1,2,3,2,3,4,3,5,6,4,5,7,5,7,9,...都是无解的。
   为什么这些数组是无解的,我掉坑里了,出不来。
   a,b,c=3,4,5,4,6,7,5,8,9,6,7,9,7,8,9,...都是有解的。
   什么样的数组才是有解的,我掉坑里了,出不来。
求助!谢谢!
发表于 2020-11-29 12:55 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草@ 于 2020-11-29 21:12 编辑

(1)当 a,b,c 恰构成一个直角三角形的三边时,它们就是一组解。例如 3,4,5 是一组解。

(2)当 a,b,c 构成一个等腰三角形,例如 a=b,并且顶角(底边 c 对的那个角)小于等于 90 度,那么 a, b, c 也是一组解。否则,如果顶角大于 90度,则 arcsin(a/n) + arcsin(b/n) + arcsin(c/n)= A+B -C + π。

(3) 更一般情况,只要  a,b,c 不构成钝角三角形,它们就是所要求的解。a,b,c 也并不限于正整数,是正实数即可。

               
上面的(1)可以证明如下: 如果 c 是斜边,则 n=c (计算过程略),此时 arcsin(a/n)=  arcsin(a/c)=A,  arcsin(b/n)=  arcsin(b/c)=B,  arcsin(c/n)=  arcsin(c/c)=C=90°, 于是 A+B+C= π。
      
上面的(2)可以证明如下:



上面的(3)证明如下:

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谢谢天山草@!构成钝角三角形的a,b,c,主帖是无解的。.  发表于 2020-12-1 11:06

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参与人数 1威望 +15 收起 理由
王守恩 + 15 谢谢天山草@!构成钝角三角形的a,b,c,主帖.

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发表于 2020-11-29 21:17 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草@ 于 2020-11-29 21:24 编辑

2# 楼的证明 (3),就是这个问题的最终解答。(1) 和 (2) 是为了说明楼主所列的几种现象,它们都是 (3) 的特殊情况而已。

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参与人数 1威望 +15 收起 理由
王守恩 + 15 谢谢天山草@!

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 楼主| 发表于 2020-12-1 13:38 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-12-1 13:55 编辑
天山草@ 发表于 2020-11-29 21:17
2# 楼的证明 (3),就是这个问题的最终解答。(1) 和 (2) 是为了说明楼主所列的几种现象,它们都是 (3) 的特 ...

小结。
1,a≤b≤c 是已知条件(正整数)。
   \(\arcsin\left(\frac{a}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{c}{n}\right)=\pi\ \ \  (1)\)
   \(n=\frac{2abc}{\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)}}\)

2,a≤b<c 是已知条件(正整数)。
   \(\arcsin\left(\frac{a}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{n}\right)-\arcsin\left(\frac{c}{n}\right)=\pi\ \ \ (2)\)
   \(n=\frac{2abc}{\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)}}\)

当a,b,c组成的三角形是锐角三角形,直角三角形时,(1)式有解。
当a,b,c组成的三角形是钝角三角形,直角三角形时,(2)式有解。
若 (1),(2) 式同时有解,则 n 是正整数。
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发表于 2020-12-1 15:12 | 显示全部楼层
这是我过去发的一个帖子的一部分, 有关三角形的公式:

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参与人数 1威望 +15 收起 理由
王守恩 + 15 谢谢 elim!慢慢琢磨(基础知识没过关)!

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