证明题 对于任意质数M≥5，(M^6 -7)/3 +2M^2都能写成两个完全立方数之和。

myyour

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证明：
对于任意质数M≥5，(M^6 -7)/3 +2M^2都能写成两个完全立方数之和。

uk702

令 a = (M-2)(M+2)/3, b = 2a+3，恒有 (M^6 -7)/3 +2M^2 = a^3+b^3

uk702

uk702 发表于 2020-11-30 14:59
令 a = (M-2)(M+2)/3, b = 2a+3，恒有 (M^6 -7)/3 +2M^2 = a^3+b^3

这还看不懂啊~，意思是，不管  M 是不是质数，(M^6 -7)/3 +2M^2 其实都是两个立方和 a^3+b^3，只不过当 M 为大于 5 的质数时，M 只能是 6k-1 或 6k+1 的形式，这时 a 和 b 都是整数。

这种题目其实有套路，那就是和质数最多擦点边，并没有多大的关系，如果真是非质数不可的话，就不是一般般的难了。

王守恩

有了2楼的答案，人脑才敢有下面的想法；没有2楼的答案，人脑是不敢有这样的想法的；
\(\frac{M^6-7}{3}+2M^2=\frac{M^6-7+6M^2}{3}=\frac{9M^6+54M^2-63}{3^3}\)
\(=\frac{M^6-12M^4+48M^2-64+8M^6+12M^4+6M^2+1}{3^3}\)
\(=(\frac{M^2-4}{3})^3+(\frac{2M^2+1}{3})^3\)
\(=(\frac{M^2-1}{3}-1)^3+(\frac{2M^2-2}{3}+1)^3\)
\(=(\frac{(M+1)(M-1)}{3}-1)^3+(\frac{2(M+1)(M-1)}{3}+1)^3\)
当 M 是 6k+1 时，(M-1)/3肯定是整数；当 M 是 6k-1 时，(M+1)/3肯定是整数。

myyour

uk702 发表于 2020-12-1 08:43
这还看不懂啊~，意思是，不管  M 是不是质数，(M^6 -7)/3 +2M^2 其实都是两个立方和 a^3+b^3，只不过当 M ...

终于明白了太感谢啦，