波利亚《数学的发现》压轴题

luyuanhong

王守恩

\((\sqrt{2}-1)^n\)

\(=\frac{(\sqrt{2}-1)^n+(\sqrt{2}-1)^n}{2}\)

\(=\frac{(\sqrt{2}+1)^n+(\sqrt{2}-1)^n-(\sqrt{2}+1)^n+(\sqrt{2}-1)^n}{2}\)

\(=\frac{(\sqrt{2}+1)^n+(\sqrt{2}-1)^n}{2}-\frac{(\sqrt{2}+1)^n-(\sqrt{2}-1)^n}{2}\)

\(=\sqrt{\big(\frac{(\sqrt{2}+1)^n+(\sqrt{2}-1)^n}{2}\big)^2}-\sqrt{\big(\frac{(\sqrt{2}+1)^n-(\sqrt{2}-1)^n}{2}\big)^2}\)

\(=\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\)

{\(k=\)1, 2, 9, 50, 289, 1682, 9801, 57122, 332929, 1940450, 11309769, \
65918162, 384199201, 2239277042, 13051463049, 76069501250}
通项公式：LinearRecurrence[{7, -7, 1}, {1, 2, 9}, 16]

{\(k-1=\)0, 1, 8, 49, 288, 1681, 9800, 57121, 332928, 1940449, 11309768, \
65918161, 384199200, 2239277041, 13051463048, 76069501249}
通项公式：LinearRecurrence[{7, -7, 1}, {0, 1, 8}, 16]

王守恩

王守恩 发表于 2020-12-2 11:21
\((\sqrt{2}-1)^n\)

\(=\frac{(\sqrt{2}-1)^n+(\sqrt{2}-1)^n}{2}\)

\((\sqrt{2}-1)^n=a_{n}+b_{n}\sqrt{2}\)

{\(a_{n}=\)1, -1, 3, -7, 17, -41, 99, -239, 577, -1393, 3363, -8119, 19601,
-47321, 114243, -275807, 665857, -1607521, 3880899, -9369319}
通项公式：LinearRecurrence[{-2, 1}, {1, -1}, 20]

{\(b_{n}=\) 0, 1, -2, 5, -12, 29, -70, 169, -408, 985, -2378, 5741, -13860,
33461,  -80782, 195025, -470832, 1136689, -2744210, 6625109}
通项公式：LinearRecurrence[{-2, 1}, {0, 1}, 20]

王守恩

\(\ n=0,1,2,3,4,5,......\ \ [\ \ ]表示四舍五入\)

\(\ \frac{\big(\sqrt{2}\ -\ 1\big)^n}{\sqrt{\big[\frac{(2\sqrt{2}+3)^n+2}{4}\big]}-\sqrt{\big[\frac{(2\sqrt{2}+3)^n-2}{4}\big]}}\equiv 1\)

王守恩

\(\ n=0,1,2,3,4,5,......\ \ a=2,3,4,5,6,7,......\)

\(\ \frac{\big(\sqrt{a}+1)^n+(\sqrt{a}-1)^n\big)^2}{4(a-1)^n}-\frac{\big(\sqrt{a}+1)^n-(\sqrt{a}-1)^n\big)^2}{4(a-1)^n}\equiv 1\)

王守恩

陆老师！后面的文章还有吗？谢谢！

luyuanhong

楼上 王守恩 的帖子很好！已收藏。

luyuanhong

王守恩 发表于 2020-12-5 09:49
陆老师！后面的文章还有吗？谢谢！

《数学的发现》压轴题的数学归纳法的证明