求解 x[x]{x} = 58，其中 [x] 为 x 的整数部分，{x} 为 x 的小数部分

uk702 · 发表于 2020-12-3 09:38

求解 x[x]{x} = 58，其中 [x] 为 x 的整数部分，{x} 为 x 的小数部分。

王守恩 · 发表于 2020-12-3 10:53

\(设x=a+\frac{b}{c}\)
\(原式=(a+\frac{b}{c})*a*\frac{b}{c}=\frac{ab(ac+b)}{c^2}=\frac{ab(a^2+b)}{a^2}=\frac{b(a^2+b)}{a}=\frac{6(9^2+6)}{9}=58\)

天山草@ · 发表于 2020-12-3 11:02

本帖最后由天山草@ 于 2020-12-3 11:13 编辑

x=29+√842 = 58.017236257093817170.......

天山草@ · 发表于 2020-12-3 11:16

本帖最后由天山草@ 于 2020-12-3 12:31 编辑

天山草@ · 发表于 2020-12-3 12:00

本帖最后由天山草@ 于 2020-12-3 12:15 编辑

有无穷多解。例如：

8.8218253......（这个是最小解）
9.6666666......
10.5497747......
11.4600945......
12.3900965......
13.3345840......
14.2899147......
...........................

天山草@ · 发表于 2020-12-3 12:14

通解是个啥东东？

uk702 · 发表于 2020-12-3 12:19

本帖最后由 uk702 于 2020-12-3 12:45 编辑

天山草@ 发表于 2020-12-3 12:14
通解是个啥东东？

通解有点无聊，那就是 n>=8 时，x= n+(-n^2 + Sqrt[n] Sqrt[232 + n^3])/(2 n) 。
有理数解只 x=29/3 这一个。

详见附图。

uk702 · 发表于 2020-12-3 12:50

本帖最后由 uk702 于 2020-12-3 12:55 编辑

下面求有理数解，易知有理数解必须满足 n^4 + 232 n是完全平方数，当 n > 116 时，
(n^2 + 1)^2 = n^4 + 2 n^2 + 1 > n^4 + 232 n > (n^2)^2。

故只需对 n < 116 进行手工验证，经验证只有 n=9 时，n^4 + 232 n 才是完全平方数。

王守恩 · 发表于 2020-12-3 13:29

\(设x=a+\frac{b}{c}\)
\(原式=(a+\frac{b}{c})*a*\frac{b}{c}=\frac{ab(ac+b)}{c^2}=\frac{ab(a^2+b)}{a^2}=\frac{b(a^2+b)}{a}=\frac{6(9^2+6)}{9}=58\)
\(原式=(a+\frac{b}{c})*a*\frac{b}{c}=\frac{ab(ac+b)}{c^2}=\frac{ab(ab+b)}{b^2}=a(a+1)\)
58是整数，分母必须被分子吃掉，即c是a或b的约数。

天山草@ · 发表于 2020-12-3 14:13

本帖最后由天山草@ 于 2020-12-3 14:40 编辑

通解求法如下：

有理数通解的求法：

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求解 x[x]{x} = 58，其中 [x] 为 x 的整数部分，{x} 为 x 的小数部分

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