x,y,z 是正整数，解不定方程 x!+5^y=7^z ，求 x,y,z

myyour

求不定方程的正整数解.
x、y、z是正整数，解不定方程：x！+5^y=7^z

uk702

当 x>=5 时，左边为 5 的倍数，右边不能整除 5，所以无解。
下面考虑 x=1,2,3,4 这 4 种情况，
x=1 时，左为偶数，右为奇数，无解。
x=2 时，若 y>=2，则意味着，7^z-2 是 25 的倍数，经检验，（7^z-2） mod 25 为 5, 22, 16, 24，... 不断循环，不可能被 25 整除，所以只有 y=1时，x=2, y=1, z=1 这一组解。
x=3 时，同样若  y>=2，则意味着，7^z-6 是 25 的倍数，经检验，（7^z-6） mod 25 为 1, 18, 12, 20，... 不断循环，不可能被 25 整除，无解。同时 x=3, y=1 时，z 也无解。
x=4时，通过验证 5^i+24 mod 7 和 7^i-24 mode 5，知这时 y 和 z 都是偶数，令 5^y=u^2，7^z=v^2，v^2-u^2=24，解得 v=7, u=5，也就是 y=2, z=2 这一组解。

因此，总共有 {x, y, z} ={2, 1, 1}, {4, 2, 2} 两组解。

天山草@

参考 uk702 的方法，略改一下：