求极限 lim(x→0)(1-cosx cos2x cos3x … cosnx)／x^2（n∈N）

xfhaoym

elim

设极限为\(L_n,\)则由\(\cos nx=1-(nx)^2/2+O(x^4)\)得\(L_n=L_{n-1}+\large\frac{n^2}{2}.\)
\(\therefore\;\;L_n=\large\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}\)

doletotodole

elim 发表于 2020-12-8 14:44
设极限为\(L_n,\)则由\(\cos nx=1-(nx)^2/2+O(x^4)\)得\(L_n=L_{n-1}+\large\frac{n^2}{2}.\)
\(\therefor ...

e老师跳步厉害啊, 应该是后面还有n的高阶无穷项在n趋于无穷消失了, 如果不趋于无穷是不是不能饿省略?

elim

doletotodole 发表于 2020-12-8 06:24
e老师跳步厉害啊, 应该是后面还有n的高阶无穷项在n趋于无穷消失了, 如果不趋于无穷是不是不能饿省略?

这题没说\(n\)趋于无穷，只是对任意给定的\(n\)对一个分式取极限\(x\to 0\). 看我的贴子要动手．把跳过的步骤补回来就长进了．
这是一道非常好的极限题．

doletotodole

elim 发表于 2020-12-8 22:20
这题没说\(n\)趋于无穷，只是对任意给定的\(n\)对一个分式取极限\(x\to 0\). 看我的贴子要动手．把跳过的 ...

明白了,谢谢.

我直接用泰勒展开每一项的cos, 最后也可以算出来结果.

我上下同时乘以sinx, 化简cos的一串, 反而最后算不出来, 洛必达失效了好像.

elim

我前面的解是在 iPad 上发的. 打字诸多不便. 不过意思到了.

elim

题：试证\(\;\;\displaystyle\lim_{x\to 0}\small\frac{1-\cos x\cos 2x\cdots\cos nx}{x^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}\)
证：记所论极限为\(\,L_n,\; P_0(x)=1,\,P_n(x)=P_{n-1}(x)\cos nx,\,\)则
\(\qquad L_0=0,\; P_{k}\sim 1,\;\;\therefore\;L_n=\displaystyle\lim_{x\to 0}{\small\frac{1-P_{n-1}(x)(1-(1-\cos nx))}{x^2}}\)
\(\qquad=L_{n-1}+\displaystyle\lim_{x\to 0}{\small P_{n-1}(x)\frac{1-\cos nx}{x^2}}=L_{n-1}+{\small\frac{1}{2}}n^2=\small\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n k^2\)
\(\therefore\quad\boxed{\lim_{x\to 0}\small\frac{1-\cos x\cos 2x\cdots\cos nx}{x^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}}\)

这个结果很神奇,很漂亮.

doletotodole

elim 发表于 2020-12-9 01:32
题：试证\(\;;\;;\displaystyle\lim_{x\to 0}\small\frac{1-\cos x\cos 2x\cdots\cos nx}{x^2}=\frac{n(n+1 ...

谢谢e老师.
这个解题过程也是很刺激 我每项泰勒展开,然后相乘 可以算出K^2求和加上一个1, 然后1消去,很神奇, 感觉我也是欧拉, 哈哈.

luyuanhong

楼上 elim 的帖子很好！已收藏。