关于边界点和闭集小小疑惑。

wufaxian

A的所有边界点组成的集合称为A的边界。如果这就是边界的定义。
那么x^2  +  y^2 <1 是开集，没有边界
        x^2  +  y^2 <=1 是闭集，是有边界的
那么 x^2  +  y^2 =1 就是上述闭集的边界，对么？如果这是正确的那么边界是有唯一性的？即他只能是“  x^2  +  y^2 =1 ”这个圈上的点！。边界点的定义是：在该点的邻域内既有一部分属于集合，又有一部分属于集合外。那么就产生一个问题。请看下图：


这个点符合定义。但是，如果将这个点再向圈的外侧移动一个非常小的距离（该距离小于该点邻域半径）那么这一点到坐标原点的距离将大于1！！！但同时该点应该仍满足“ 该点的邻域内既有一部分属于集合，又有一部分属于集合外。”的条件。所以这个点应该还是一个边界点。如果以上论点成立。那么将与“边界点只能是“  x^2  +  y^2 =1 ”这个圈上的点！”出现矛盾！！！！！

elim

\(x\) 是\(\,E\) 的边界点当且仅当它的任意领域与\(\,E,\;E^c\)相交都非空.

luyuanhong

注意：邻域的半径并不是固定的，而是可以任意缩小，只要不等于 0 就可以了。

对于一个边界外的点，不管它离边界多么近，总可以找到一个半径比它到边界

距离更小的邻域，使得这个点的整个邻域全部落在边界之外，所以按照定义，

这个点就不会是边界点了。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2020-12-16 09:27
注意：邻域的半径并不是固定的，而是可以任意缩小，只要不等于 0 就可以了。

对于一个边界外的点，不管 ...

谢谢lu老师回复。
也就是说“  x^2  +  y^2 =1 ”这个圈上的点，无论其邻域半径如何缩小，其邻域当中一定有一部分元素属于集合（在圈内），一部分元素不属于集合（在圈外）。
而一旦圈上的点外移，无论外移距离多么小。那么“ 其邻域当中一定有一部分元素属于集合（在圈内），一部分元素不属于集合（在圈外）。”的条件将不再满足。
请问是这样么？

luyuanhong

wufaxian 发表于 2020-12-16 13:21
谢谢lu老师回复。
也就是说“  x^2  +  y^2 =1 ”这个圈上的点，无论其邻域半径如何缩小，其邻域当中一 ...

是的。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2020-12-16 13:35
是的。

谢谢陈老师回复。
这部分有点反直觉。假设外移距离为a，领域半径为b。令0<a<b。这难道不能实现么？

或者以上问题超出了数学分析的范畴？

luyuanhong

边界点的定义是：设 A 是一个集合，x 是一个点，如果在 x 的任何邻域中，都是既有属于

A 的点，也有不属于 A 的点，则称 x 是 A 的边界点。

注意：在这个定义中，要求的是“任何邻域”，也就是说，要求对于 x 的所有邻域，大大小小

的各种邻域，这些在邻域中，都要既有 A 内的点又 A 外的点。

    如果你只是找到“某一个邻域”，在这个邻域中既有 A 内的点又 A 外的点，不能算满足了

边界点定义中“任何邻域”的要求，所以，这时你并不能断定这个点就是边界点。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2020-12-16 19:17
边界点的定义是：设 A 是一个集合，x 是一个点，如果在 x 的任何邻域中，都是既有属于

A 的点，也有不 ...

谢谢你的详细回复。
”如果你只是找到“某一个邻域”，在这个邻域中既有 A 内的点又 A 外的点，不能算满足了

边界点定义中“任何邻域”的要求，所以，这时你并不能断定这个点就是边界点。“-----------我不确定我举的例子是不是”某一邻域“。在我脑海中这个邻域就是像图中圆圈上的哪个点。其邻域就是以该点位圆心半径为b的圆。该半径可以是”任意小“。但是大于0.  不知道这样的邻域是否满足”任意邻域“的标准？