吴文俊：不能把几何学等同于逻辑推理

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吴文俊：不能把几何学等同于逻辑推理

说到数学教育改革，我首先想到的是要慎重，不可草率从事。这是因为它牵涉面很大：全国有两亿中小学生，他们的数学素质如何，直接会影响未来世纪的国家建设。我们的本意是想改得好一些，但是搞得太急，没有充分论证和经过试验，那是不成的。



数学家谈数学教育改革，不能只从培养数学家的角度来看问题。一万人口中顶多有一、两个数学家，不能用数学家的要求来指导中小学数学教学。我们常常以自己如何走上数学道路的经验来判断是非，那是不全面的。

我比较喜欢几何。这里先谈谈中学几何课程的改革。我常常听到一些意见，认为中学的几何必须是一个公理系统。我不赞成。中国古代的几何学，没有公理体系，但是有原理，例如出入相补原理等等。中学几何课上，讲公理不如讲原理。例如三角形全等的条件，就是一个原理。我们选择若于个原理，将几何内容串起来，比公理系统要好。一部经典力学，就是从牛顿三大定律（三个原理推演出来的。也有人认为，从原理出发不严格，使用公理体系才能做到严密。这是在唬人、骗人，中学几何课程根本做不到希尔伯特《几何基础〉）那样的严格性。欧几里得《几何原本〉）里的公理体系也是不严格的。我们没有必要去追求这种公理系统的严密性。

当然，我决不是否认逻辑推理的重要性。一且把几个重要的原理确定下来，我们还是要一 步一步地严格论证，从原理出发，推出那些几何学命题和结论。另一方面，几何学有形象化好处，几何会给人以数学直觉。不能把几何学等同于逻辑推理。应该训练学生的逻辑推理能力， 但也应适可而止。只会推理，缺乏数学直觉，是不会有创造性的。

不论是几何，还是代数，都要讲推理。你在解方程时，把一个方程化成另一个方程，就要讲“同解”的道理。使用一种算法解问题，也要论证其合理性。任何数学都要讲究逻辑推理，但这只是问题的一方面。更重要的是用数学去解决问题，解决日常生活中，其它学科中出现的数学问题。学校里给的数学题目都是有答案的。已知什么，求证什么，都是清楚的，题目也一定是做得出的。但是将来到了社会上，所面对的问题大多是预先不知道答案的，甚至不知道是否会有答案。这就要培养学生的创造能力，学会处理各种实际数学问题的方法。但要做到这一点，光凭逻辑推理是不够的。

顺便说一句，中学里”对数”的地位似乎应当重新估计。过去学对数主要是为了查对数表以便简化计算。现在有了计算器，对数的这一功能已被取代了。至于对数函数，那恐怕还是要的。

大家谈到我的研究工作，即数学定理的机械化证明，是否可用于中学数学课程改革，我也没有把握。我只是在一个会上谈了设想，有些同志觉得可以试试。至于是否可行，现在还不知道。由于电子计算机的出现，解析几何的重要性在增加，中学里结合解析几何方法学习平面几何，也许值得作进一步研究。不过，我仍回到我刚开始说的一句话，即数学教育改革一定要慎重考虑。一定要经过试验，而且首先要在教师中进行试验。中学里渗透机械化证明的思想，也一定要慎重才好。

（本文是 1993 年 2 月 23 日，在国家教委基础教育课程教材研究中心召集的数学家座谈会上的发言，张奠宙整理，已由本人审阅）

来源：《数学教育学报》，2009.