求定积分 ∫(0,1)ln(-lnx)ln(1-x)／x dx

elim

题：计算\(\displaystyle\int_0^1\frac{\ln(-\ln x)\ln(1-x)}{x}dx\)

这个帖子找不到了. 重贴一下.

永远

你看还要需要大量的基础知识做后盾，没有相关理论基础到后面直接没有然后了，我想了下，当初用代换就是个错，e老师基础理论好，请老师你继续研究

\[\begin{gathered}
  \int_0^1 {\frac{{\ln ( - \ln x)\ln (1 - x)}}{x}} dx = \int_0^1 {\ln ( - \ln x)\ln (1 - x)} d(\ln x) \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \,\;\;\,\;\,\underline{\underline {( 令：- \ln x = t)}} \int_0^\infty  {\ln t\ln (1 - {e^{ - t}})} dt \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, = \int_0^\infty  {\ln x\ln (1 - {e^{ - x}})} dx \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, =  - \int_0^\infty  {\ln x} \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}} dx \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, =  - \int_0^\infty  {\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln x} dx}  \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \,\, =  - \mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to {0^ + }} \int_\lambda ^\infty  {\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln x} dx}  \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \,\, =  - \mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to {0^ + }} \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\int_\lambda ^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln xdx} }  \hfill \\
\end{gathered} \]

永远

请问e老师函数项级数在积分区间端点发散，你说还可以交换符号，可陆老师的贴子是不能交换的。要交换必须写成极限式，你非不写成极限式，还把它还原成原积分，试图用你熟悉的方法解答，那不是我想要的，如果写成极限式，老师你可能求不出来，也罢。我想问的是，像这样的例题大几学，是数分还是实变，哪本教材有相关例题，我好看看。你那分析太粗糙了，我看着头大！如果有相关例题的书可以推荐一下，我自行百度下载，在此谢过

elim

陆老师没说一概不可，我也没说一概可交换．所考虑的函数项级数的积分区间不是有限的，就是有一致收敛性也不能保证求和与积分的可换性．需要更细致的分析．但我的分析你看着要崩溃．就不难为你了．

elim

永远 发表于 2020-12-27 08:39
你看还要需要大量的基础知识做后盾，没有相关理论基础到后面直接没有然后了，我想了下，当初用代换就是个错 ...

没什么好研究的. 你最早引述的计算每一步都正确. 只是对基础差的人来说省略了不少论证。但一般来说，主贴的题目不是为了牵扯太多的基础理论介绍论证而提出的。所以涉及基础理论或重要的中间环节，最好是另开主题。否则人看人昏。

一般的极限交换理论构成了实变函数，泛函分析的主要动机。内容浩瀚深奥。不是几个贴子可以处理的。但对眼下的问题，初等处理是可行的。要求较扎实的基础而已。