求极限 lim(λ→+0)∑(n=1,∞)∫(λ,+∞)e^(-nx)/n lnx dx

永远

求极限\(\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to {0^ + }} \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\int_\lambda ^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln xdx} } \)

elim

没有问到点子上． 应该问的问题是:

证明: \((1)\quad\displaystyle\lim_{\lambda\to\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\int_{\lambda}^{\infty}\frac{1}{n}e^{-nx}\ln x dx=0\)
\(\qquad(2)\quad\displaystyle\lim_{\lambda\to 0+}\sum_{n=1}^{\infty}\int_0^{\lambda}\frac{1}{n}e^{-nx}\ln x dx=0\)

doletotodole

太疯狂了, 这种积分求和考研就学了个什么幂函数啥的, 你这个问题恐怕数学专业的硕士都搞不定.

永远

doletotodole 发表于 2020-12-29 08:11
太疯狂了, 这种积分求和考研就学了个什么幂函数啥的, 你这个问题恐怕数学专业的硕士都搞不定.

我求了一半，后面不知道咋算

\[\begin{gathered}
  \int_0^1 {\frac{{\ln ( - \ln x)\ln (1 - x)}}{x}} dx = \int_0^1 {\ln ( - \ln x)\ln (1 - x)} d(\ln x) \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \,\;\;\,\;\,\underline{\underline {( 令：- \ln x = t)}} \int_0^\infty  {\ln t\ln (1 - {e^{ - t}})} dt \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, = \int_0^\infty  {\ln x\ln (1 - {e^{ - x}})} dx \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, =  - \int_0^\infty  {\ln x} \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}} dx \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, =  - \int_0^\infty  {\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln x} dx}  \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \,\, =  - \mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to {0^ + }} \int_\lambda ^\infty  {\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln x} dx}  \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \,\, =  - \mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to {0^ + }} \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\int_\lambda ^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln xdx} }  \hfill \\
\end{gathered} \]

永远

声明：泰勒展开，逐项积分不是我想要的，严禁此法，过程省略者视为作弊！

elim

hint: Cauchy–Schwarz

永远

都不一致收敛，还这样写，就算把求和号提到外面，也要加极限号。老师连极限号也不加，我绝不会采纳！




正确的应该是这样写：\(\displaystyle\int_0^\infty  {\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}\ln x}}{n}} } dx = \mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to {0^ + }} \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\int_\lambda ^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}\ln x}}{n}dx} } \)


不一致收敛，我坚决不承认这种写法：

\(\displaystyle\int_0^\infty  {\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}\ln x}}{n}} } dx = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\int_0^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}\ln x}}{n}dx} } \)

永远

下面是数系陆教授的贴子作部分细节后盾

用Weierstrass判别法证明函数项级数 lnx∑(n=1,∞)e^(-nx)/n 在 [a,∞) 上一致收敛 （a>0）

特别的：函数项级数 lnx∑(n=1,∞)e^(-nx)/n 在 [0,∞) 上不一致收敛 ！！！

http://www.mathchina.com/bbs/for ... p;extra=&page=1

永远

部分相关参考资料：

lim(t→0)∫(0,t)f(x)dx 永远等于 0 吗？

http://www.mathchina.com/bbs/for ... p;extra=#pid1409362

elim

永远 发表于 2020-12-29 07:47
都不一致收敛，还这样写，就算把求和号提到外面，也要加极限号。老师连极限号也不加，我绝不会采纳！

的确不在正半轴上一致收敛, 但因为二楼成立, 这个等式还是成立的.  好好学.

研究这些式子很值. 另外 \(\displaystyle\int_0^\infty\frac{\ln x}{n}e^{-nx}dx=-\frac{\gamma+\ln n}{n^2}\)
也不能打马虎眼.