解决四色问题的关键问题——对我所构造的图的第三次分析

雷明85639720

解决四色问题的关键问题
——对我所构造的图的第三次分析
雷  明
（二○二一年元月三日）

敢峰先生从最基本的双环交叉链开始，用转型演绎法进行顺时针转型，构造了有经过了构形关键顶点的环形链的有双环交叉链的构形，我也仿敢峰先生的顺时针转型方法构造了无经过构形关键顶点的环形链的有双环交叉链的构形（如图1，当然就还应有一个用逆时针转型的与图1是左右对称的构形）。图中似乎有经过了关键顶点——围栏顶点上两个双环交叉链的末端顶点C和D——的环形的C—D链，但该链并没有把其相反链A—B中的关键顶点——双环交叉链A—C与A—D的共同起始顶点A和相交叉顶点A——分隔在C—D环形链的两侧（如图2），所以它只能是属于无经过关键顶点的环形链的构形，而不属于有经过了关键顶点的环形链的构形。现在对我的构形进行第三次分析如下：

1、用连续转型法解决可约性问题：
这种构形解决时,只能用转型交换法而不能用断链交换法。逆时针转型时，一次就转化成了只有一条连通链的可约构形（如图3和图4），再交换一次就可以空出C或B给待着色顶点V着上。
若进行顺时针转型，一次转形就转化成CDC型的有经过了关键顶点——两链的末端顶点A和B的环形链A—B的构形，把双环交叉链D—A和D—B的共同起始顶点D和相交叉顶点D分隔在了A—B环形链的两侧（如图5），可以用断链交换法提前结束转型。



顺时针二次转型转化成的是ABA型的有经过了关键顶点——双环交叉链的共同起始顶点B和相交叉顶点B——的A—B环形链，把把两链的末端顶点——围栏上的C和D与其他的C和D色顶点分隔在了A—B环形链的两侧（如图6），也可以用断链交换法提前结束转型。
顺时针三次转型转化成的是DCD型的有经过了关键顶点——两链的末端顶点A和B的两条环形链A—B的构形，把双环交叉链C—A和C—B的共同起始顶点C和两个相交叉的顶点C分别分隔在了A—B环形链的两侧（如图7），仍可以用断链交换法提前结束转型。
顺时针四次转型转化成的又是BAB型的有经过了关键顶点——两链的共同起始顶点A的环形链A—B的构形，把相反链的关键顶点——两链的末端顶点C和D与别的D色顶点分隔在了A—B环形链的两侧（如图8），仍可以用断链交换法提前结束转型。由于A—B环内只有一个孤立的D色顶点，且是非关键顶点，所以断链交换后只能断其一条连通链（见后面的图18）。

顺时针五次转型转化成的是CDC型的只有一条连通链的可约构形了（如图9），已移去了一个同色B，再交换一次，就可移去另一个同色B，把B给待着色顶点V着上（如图10）。
无经过关键顶点的环形链的构形，最多在五次转型之内就可以解决问题（也即四次转型就已转化成一个可以连续的移去两个同色的可约构形），且中途还可以改换断链交换，提前结束转型。
2、有环形链与无环形链构形的相互转化：
图2的原始构形本身就是一个可以连续的移去两个同色B的可约构形，逆时针转型一次后是只有一条连通链的可约构形（如图3和图4），顺时针转型一次后是一个有经过了关键顶点的环形链的构形（如图5）；
第一次顺时针转型后的图5，是一个CDC型的有A—B环形链的构形，改变右边的一个顶点A（图中的加大顶点）的颜色为D，就转化成了无环形链的构形（如图11），再改变图11中左边的一个加大顶点A的颜色为C，就转化成了有C—D环形链的构形（如图12）；

第二次顺时针转型后的图6，是一个ABA型的有A—B环形链的构形，改变右边的一个顶点A（图中的加大顶点）的颜色为D，就转化成了无环形链的构形（如图13），再改变图13中左边的一个加大顶点A的颜色为C，就转化成了有C—D环形链的构形（如图14）；

第三次顺时针转型后的图7，是一个DCD型的有A—B环形链的构形，改变左、右两边各一个顶点A（图中的加大顶点）的颜色为C和D，就转化成了无环形链的构形（如图15），再改变图15中的一个加大顶点A的颜色为D，就转化成了有C—D环形链的构形（如图16）；
第四次顺时针转型后的图8，是一个BAB型的有A—B环形链的构形，改变左边的一个顶点A（图中的加大顶点）的颜色为C，就转化成了无环形链的构形（如图17）。该图17已经是一个只有一条连通链的可约构形，所以再不可能转化成有经过了关键顶点的环形链的构形了。该图的原构形图8，既是一个可以连续的移去两个同色B的可约构形（如图9和图10），也是一个可以使用断链交换法的可约构形（如图18），不需要再转化成无经过关链顶点的环形链的构形，就可以解决问题了。


从这一节可以看出，有经过了关键顶点的环形链的构形与无经过关键顶点的环形链的构形之间是可以相互转化的，这就为解决无经过关键顶点的环形链的构形提供了方便的条件，任何无经过关键顶点的环形链的构形都可以通过转化成有经过了关键顶点的环形链的构形，来很快的解决问题。如果硬是要一直的坚持转型交换，最多也只是转型5次，就可以解决问题了。
3、解决无环型链的构形的可约性是解决四色问题的关键：
有双环交叉链的构形分为有经过了关键顶点的环形链的构形和无经过关键顶点的环形链的构形两大类。有环形链的构形用断链交换法解决，无环形链的构形则可以再转化成有环形链的构形去解决。很快就可以解决问题。即就是一直坚持用连续转型法，也最多只要5次转型就可以解决问题。所以说，有环形链的构形与无环形链的构形可以相互转化，这是解决四色问题的一个关键问题。现在有双环交叉链的构形的可约性问题已经解决了，无双环交叉链的构形坎泊早已解决，所以平面图的所有不可免避构形都已经是可约的了。四色猜测就是正确的了。

雷  明
二○二一年元月三日于长安

注：此文已于二○二一年元月四日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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