无穷级数 lnx=2∑(n=0,∞)1／(2n+1)[(x-1)／(x+1)]^(2n+1) 何时成立？

elim

题：分析 \(\ln x=2\sum \limits _{n=0}^\infty \frac{1}{2n+1} (\frac{x-1}{x+1})^{2n+1}\)
是否成立，何时成立．

永远

elim

令\(x=\varphi(t)=\large\frac{1+t}{1-t},\)  则满射\(\,\varphi: (-1,1)\to(0,\infty)\) 严格增,\(\,t=\large\frac{x-1}{x+1}.\)
\(\therefore\;\;\ln x=(\ln(1+t)-\ln(1-t))=\displaystyle\small\sum_{n=0}^\infty\frac{2}{2n+1}\big(\frac{x-1}{x+1}\big)^{2n+1}\;(x\in(0,\infty)).\)

永远

elim 发表于 2021-1-5 07:58
令\(x=\varphi(t)=\large\frac{1+t}{1-t},\)  则满射\(\,\varphi: (-1,1)\to(0,\infty)\) 严格增,\(\,t=\la ...

到数第二行怎么又多了一个1/2？

elim

多了一个1/2, 少了一个 2.  更正了。多谢指出。