单调函数必存在连续区间吗

simpley

在某闭区间，单调函数必可积。有有限个断点的连续函数必可积。
那么，闭区间内单调函数必是连续函数或有限个断点的函数吗？
有没有这样的单调函数，它的任意区间内，必存在断点？

simpley

这个问题就是，在闭区间［a,  b］内，单调函数会存在无穷个间断点吗？

uk702

区间 [0, 1] ， 让 x 在 1-1/n 处跳跃 1/2^n（n=2,3, ...），应该就可以构造出有无穷多个间断点的单调函数。

在任意区间内存在断点的单调函数，是另一个问题，这个要想一想。
比如说，在1/2 时跳跃 1/2，在1/4 和 3/4 这2个点跳跃 1/(4*2), 在 1/8, 3/8, 5/8, 7/8 这4个点跳跃 1/(8*4)， ...
不知能不能写出这样的函数来，比如类似图中的函数，能否证明其单调且在任意区间均有间断点（脑袋不够使了，犯晕）。

补充说一句，看不懂图中的函数显然是不该读数学作为专业的。

simpley

这两个是同一个问题。你构造的这个函数没看懂。x要取区间的每个值，不能仅取1-1/n

simpley

按你构造的函数，似乎是要在1/2处能形成断点，但实际上并不是断点。每个x加上后面的和式，都会向上跳。

simpley

闭区间内，一个单调函数，如果在它的任意区间都存在断点，就说明它有无穷断点。

simpley

确实有这样的函数

elim

存在 [0,1] 上取值为无理数的严格增实函数. 这样的函数在任何[0,1]的子区间上都不会连续：

取定无理数\(\beta\in(0,1),\;\beta=\sum_{n=1}^\infty {\large\frac{b_n}{10^n}}=0.b_1b_2b_3\ldots\)
定义\(\,f_{\beta}(x)=0.x_1b_1x_2b_2x_3b_3\ldots\;\;(x=x_1x_2x_3\ldots,\;\;\underline{\lim} x_n<9)\)
\(f_{\beta}\,\)的严格增以及仅取无理数值性质的验证从略。

simpley

确实如此

elim

uk702 完全正确，在一切无尽小数处连续。只要\(x,\,y\)至少一个不是有限小数，
就有\(\;|f_{\beta}(y)-f_{\beta}(x)|\le |y-x|\).