求 (1+x+x^2+...+x^30)(1+x+x^2+...+x^99)^2 展开式中 x^198 的系数.

popo987654

想问问要用什么方法才能求出来?

uk702

数手指头，x^198 中，有可能是来自第一个式子的 1(x^0) 项，第二个式子的 x^99 项，第三个式子的 x^99 项，也就是分解成 0+99+99，也可以来自第一个式子的 x^1 项，第二个式子的 x^98 项，第三个式子的 x^99 项，也就是分解成 1+98+99，当然也可以来自第一个式子的 x^1 项，第二个式子的 x^99 项，第三个式子的 x^98 项，也就是分解成 1+99+98，...

因此分解方式有：
0+99+99                                         1种
1+99+98 及  1+98+99                    2种
2+99+97、2+98+98、2+97+99     3种
3+99+96、...、3+96+99                4 种
...
30+99+69、...、30+69+99            31种

故总计为：1+2+...+31 = 31*16=496 种。

luyuanhong

天山草@

用 mathematica 可以直接求出这个系数：

fungarwai

\(\displaystyle\frac{(1-x^{31})(1-x^{100})^2}{(1-x)^3}
=(1-x^{31}-2x^{100}+2x^{131}+x^{200}-x^{231})
\sum_{n=0}^\infty \binom{n+2}{2}x^n\)

\(\displaystyle[x^{198}]\frac{(1-x^{31})(1-x^{100})^2}{(1-x)^3}
=\binom{200}{2}-\binom{169}{2}-2\binom{100}{2}+2\binom{69}{2}
=496\)