中学生问题，两道抽象函数求解：f(f(x))=x^2 ，求 f(x)；f(f(x))=x^2+x ，求 f(x)

xfhaoym

１.F(f(x))=x^2,  求f(x)

2. .F(f(x))=x^2+x. 求f(x)

xfhaoym

elim

对 \(f(x)=|x|^{\sqrt{2}}\) 有\(\,f(f(x))=\big(|x|^{\sqrt{2}}\big)^{\sqrt{2}}=x^2\)

xfhaoym

elim 发表于 2021-1-15 08:03
对 \(f(x)=|x|^{\sqrt{2}}\) 有\(\,f(f(x))=\big(|x|^{\sqrt{2}}\big)^{\sqrt{2}}=x^2\)

谢谢elim老师．设f(x)=x^a,有（x^a)^a=x^2.所以有a^2=2, a=+-√２.
有f(x)= x^√２和f(x)=x^-√２.－－－－先不管定义域了
而对于：F(f(x))=x^2+x. 求f(x)怎么办？

elim

这种问题王守恩也不来看看？

xfhaoym

是呵，王守恩哪去了？

luyuanhong

elim

问题(2)估计中学数学是弄不出来了。高等数学也涉及一般不熟悉的思路：
设所求\(f\)解析，\(f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n\), 则有 \(x^2+x=\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k\big(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n\big)^k\)
重排上式右边成x的幂级数后代数地解出\(a_1,a_2,\ldots\),  
或者直接对\(f(f(x))=x(x+1)\) 求\(\,x=0\) 处\(f\)的各阶导数，

xfhaoym

谢谢两位老师！一般人想不到的方法！

uk702

知乎，/question/25024134，被鄙视了，居然没有权限贴链接。