求半径为 r 的圆内接三角形的最大面积和最大周长

波斯猫猫

求半径为r的圆内接三角形的最大面积和最大周长。

luyuanhong

我下面的帖子，证明了一个更一般的结论：

半径为 r 的圆内接 n 边形成为正 n 边形时面积最大，最大值为 nr^2sin(2π/n)/2 。

特别，当 n=3 时，就是：

半径为 r 的圆内接三角形成为正三角形时面积最大，最大值为 3√3r^2/4 。

永远

谢谢楼上陆老师的解答，已收藏！下面是相关知识点的继续补充：

当圆内接n边形为正n边形时，它的面积达到最大。

特别地：

当\(n \to \infty \)时，圆内接正n边形的面积趋于圆的面积。

\( \begin{gathered} 即： {S_圆} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \max S \hfill \\
   = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } (\frac{{n{r^2}}}{2}\sin \frac{{2\pi }}{n}) \hfill \\
   = \frac{{{r^2}}}{2}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } (n\sin \frac{{2\pi }}{n}) \hfill \\
  \underline{\underline {t = \tfrac{1}{n} \to 0}} \frac{{{r^2}}}{2}\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} (\frac{1}{t}\sin 2\pi t) \hfill \\
   = \frac{{{r^2}}}{2}\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sin 2\pi t}}{t} \hfill \\
   = \pi {r^2}\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sin 2\pi t}}{{2\pi t}} \hfill \\
   = \pi {r^2} \hfill \\
  \therefore \boxed{{S_圆} = \pi {r^2}} \hfill \\
\end{gathered} \)

simpley

在圆内，一边a固定，另两边b,c相等时，面积最大。然后把b作为底边，a=c时最大。这样，只要不是等边三角形，总可以找到比它大的三角形。周长的证明类似。把固定边的端点作为焦点画椭圆，只要不等腰，椭圆总在圆内，所以两腰相等最大。
这是个大概证法，不严密

simpley

只要不是等边三角形，总存在更大的三角形，不能推出圆内最大是等边三角形。这是由魏尔
斯特拉斯指出的，充分体现了数学的严密

luyuanhong

我下面的帖子，证明了一个更一般的结论：

半径为 r 的圆内接 n 边形成为正 n 边形时周长最大，最大值为 2nrsin(π/n) 。

特别，当 n=3 时，就是：

半径为 r 的圆内接三角形成为正三角形时周长最大，最大值为 3√3r 。

波斯猫猫

解：在半径为r的圆内接△ABC中，由正弦定理有a/sinA=b/sinB=c/sin（A+B）=2r.
    （1）其面积S=[absin(A+B)]/2=2r＾2sinAsinBsin（A+B）=r＾2sin（A+B）[cos（A-B）-cos（A+B）]
          ≤r＾2sin（A+B）[1-cos（A+B）]    （当A=B时）
          =r＾2sin2A[1-cos2A] =2r＾2sin2A（sinA）＾2，
所以，S′=4r＾2（sinA）＾2[（2cos（A）＾2+cos2A].
令S′=0，解得符合要求的A=60°，故Smax=2r＾2sin120°（sin60°）＾2=3√3r＾2/4.
     （2）其周长L=a+b+c=2r[sinA+sinB+sin（A+B）]    （前者用和差化积，后者用倍角公式）
            =4rsin[（A+B）/2]{cos[（A-B）/2]+cos[（A+B）/2]}
            ≤4rsin[（A+B）/2]{1+cos[（A+B）/2]}    （当A=B时）
            =4rsinA（1+cosA）.
令L′=0，解得符合要求的A=60°，故Lmax=4rsin60°（1+cos60°）=3√3r.

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。

黄绪励

楼上利用拉格朗日法求最大值欠严格，拉格朗日法求出的是极值必要条件，还需证明是最大值。其实你己承认了园内接正n边形周长最大。这正是要证的。有关任意平面光滑连续凸闭曲线，内接最大n>=3边形的的几何性质，请看拙帖。