求解三角方程 sinx+cosx=sin2x

中国上海市

sinx+cosx=sin2x

xuke

原方程等价于
\[\left( \sin x+\cos x \right) -\left( \sin x+\cos x \right) ^2+2=0\]
由此可得
\[\sin x+\cos x=-1\text{或}2\left( \text{舍} \right) \]
所以有
\[\sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right) =-\frac{\sqrt{2}}{2}\]
最后得到
\[x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi ,k\in \text{Z}\]

中国上海市

好像有问题

波斯猫猫

sinx+cosx=sin2x→sinx+cosx=（sinx+cosx）＾2-1→（sinx+cosx）＾2-（sinx+cosx）-1=0
→sinx+cosx=（1-√5）/2→√2cos（x-π/4）=（1-√5）/2→cos（x-π/4）=（√2-√10）/4
→x-π/4=raccos[（√2-√10）/4]，或x-π/4=-raccos[（√2-√10）/4 ，       ( x-π/4∈  [-π，π] )
故x-π/4=2kπ+raccos[（√2-√10）/4]，或x-π/4=2kπ-raccos[（√2-√10）/4  ,
即x=2kπ+π/4+raccos[（√2-√10）/4]，或x=2kπ+π/4-raccos[（√2-√10）/4]  .（k∈Z）
亦即x=2kπ+π/4±raccos[（√2-√10）/4].     

天山草@

2# 方法很好，只是笔误了，第一行 +2 应该改为 +1

波斯猫猫

sinx+cosx=sin2x→（sin2x）＾2-sin2x-1=0→sin2x=（1-√5）/2→2x=racsin[（1-√5）/2]
→x=racsin[（1-√5）/2]/2，即x=kπ+racsin[（1-√5）/2]/2     （k∈Z）


sinx+cosx=sin2x→（sin2x）＾2-sin2x-1=0→sin2x=（1-√5）/2→2x=racsin[（1-√5）/2]
→x=racsin[（1-√5）/2]/2         x∈[-π/4，π/4]
所以x=kπ+racsin[（1-√5）/2]=2kπ/2+racsin[（1-√5）/2]或x=kπ+π/2+racsin[（1-√5）/2]=(2k+1)π/2-racsin[（1-√5）/2],
即x=nπ/2+（-1）＾n.racsin[（1-√5）/2]  .   (  k，n∈Z）
注：这下就对了。

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

liangchuxu

liangchuxu

抱歉，笔误。改正如下

波斯猫猫

liangchuxu 发表于 2021-1-19 19:14

前面那个不在定义域内，后面那个一般周期不对头。