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证明:x^3+y^3+z^3+w^3 = 2021 有无穷多个整数解 (x, y, z, w)。

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发表于 2021-1-20 10:23 | 显示全部楼层 |阅读模式
证明:\(x^3+y^3+z^3+w^3\) = 2021 有无穷多个整数解 (x, y, z, w)。
 楼主| 发表于 2021-1-20 17:44 | 显示全部楼层
经检验 (x,y,z,w) = (29, 41, 47, -58) 是其中的一个解,现设 x=29+k; y=41-k;z=47+m; w=-58-m 代入 \(x^3+y^3+z^3+w^3=2021\),得 \(210(k^2-12k)-33(m^2+105m)=0\),整理,有 \(11(2m+105)^2-280(k-6)^2=111195\)。

我们知道,不定方程 \(ax^2-by^2=N \),当 a 和 b不都是完全平方数且 N ≠ 0 时,若有一个解,则有无穷多个解,故由此得到 \(x^3+y^3+z^3+w^3=2021\) 的无穷多个解。

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王守恩 + 15 哦!你是这样去想的,不错!

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发表于 2021-1-21 08:21 | 显示全部楼层
不好意思!骚扰一下,麻烦看看我的帖子:
数学研发论坛,开心茶馆,《[提问] a^3+nab+b^3=c^3》
看来 x^3+y^3+z^3+w^3 =n 的通项是没有的。

点评

兄弟你如果精力旺盛,建议你买一本《初等数论难题集》(如果这本书太难的话,也可以买一本《不等式问题集及答案(1-400)》),从头到尾做一遍,保你大有收获,而且这对于提高个人严谨的解题能力一定会大有裨益。  发表于 2021-1-21 09:14
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 楼主| 发表于 2021-1-21 08:53 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2021-1-21 08:54 编辑

原帖子上结果就很好啊,链接的网页信息量也超大:
mathoverflow.net/questions/138886/which-integers-can-be-expressed-as-a-sum-of-three-cubes-in-infinitely-many-ways

x^3+y^3+z^3+w^3 =n 不仅没有通项,是否对所有的 n 都有解还未知。

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发表于 2021-1-21 09:41 | 显示全部楼层
uk702 发表于 2021-1-21 08:53
原帖子上结果就很好啊,链接的网页信息量也超大:
mathoverflow.net/questions/138886/which-integers-can ...

谢谢uk702! 活跃一下帖子。
  不光是  “1” ,挺多的。
1= 144^3  - 138^3  -  71^3      
1= 172^3  - 138^3 - 135^3      
1= 505^3  - 426^3 - 372^3      
1= 577^3  - 486^3 - 426^3        
1= 904^3  - 823^3 - 566^3      
1= 729^3  - 720^3 - 242^3      
1=1010^3 - 812^3 - 791^3      
1=1210^3-1207^3 - 236^3      
1=2304^3-2292^3 - 575^3      
1=3097^3-2820^3-1938^3      
1=3753^3-3230^3-2676^3      
1=5625^3-5610^3-1124^3      
1=6081^3-5984^3-2196^3      
1=6756^3-6702^3-1943^3      
1=8703^3-8675^3-1851^3

点评

这里有篇文章你或许有兴趣:blog.chinaunix.net/uid-20375883-id-1959215.html  发表于 2021-1-21 10:01
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发表于 2021-1-21 10:10 | 显示全部楼层
uk702 发表于 2021-1-20 17:44
经检验 (x,y,z,w) = (29, 41, 47, -58) 是其中的一个解,现设 x=29+k; y=41-k;z=47+m; w=-58-m 代入 \(x^3+ ...



\(n^3\equiv(3n^3-3n^2+2n-1)^3-(3n^3-3n^2+2n)^3+(3n^2-2n+1)^3\)

\(n 是1, 2, 3, 4,...,n 可以是有理数,n 还可以是无理数。\)
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发表于 2021-1-21 12:37 | 显示全部楼层
uk702 发表于 2021-1-21 08:53
原帖子上结果就很好啊,链接的网页信息量也超大:
mathoverflow.net/questions/138886/which-integers-can ...

不好意思!麻烦再看看:
数学研发论坛,小题大作,《[讨论] 四次方数还有更短的吗?》
\((n-5)^4\equiv(n+5)^4-(2n+4)^4+(2n-4)^4-(3n-1)^4+(3n+1)^4\)
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