求不定积分 ∫sinx／(sinx+cosx) dx

xfhaoym

这个积分在积分表中可以找到．那它是怎么求出来的？

elim

万能代换肯定管用。我发现一个有趣的关系式：

\(\small\dfrac{\sin x}{\sin x+\cos x}=\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}-\dfrac{(\sin x+\cos x)'}{\sin x+\cos x}-\dfrac{\sin x}{\sin x+\cos x}\)
\(\therefore\quad\displaystyle\small\int\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\ln(1+\sin 2x)\)+C

elim

注：
\(\displaystyle\small\int\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}dx=\frac{1}{2}\ln(|\sin x+\cos x|^2)+C=\frac{1}{2}\ln(1+\sin 2x)+C\)

永远

elim 发表于 2021-1-23 10:54
注：
\(\displaystyle\small\int\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}dx=\frac{1}{2}\ln(|\sin x+\cos x|^ ...

不得不肯定这个思路很巧妙！很费解e老师是怎么想到的

xfhaoym

学数学专业的就是比我们学工程的牛！因为基础就不同．就这道题还有一个叫＂对称法＂的，但它可能对一些特殊的问题有用．

永远

xfhaoym 发表于 2021-1-23 12:42
学数学专业的就是比我们学工程的牛！因为基础就不同．就这道题还有一个叫＂对称法＂的，但它可能对一些特殊 ...

老先生做的漂亮！

luyuanhong

楼上 各位 的解答很好！已收藏。

kezhulu

xfhaoym說的解法我在一本書看過，叫組合積分法，好像說是華老在他的某本書有用過此方法。

永远

華老是不是华罗庚先生？？？？？

永远

太巧了，这题考研书上有，区间再现