大Q猜想的释义

大Q董老师

一、费马平方和定理

费马平方和定理是由法国数学家费马在1640年提出的一个猜想，但他没有提出有力的数学证明。1747年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉提出证明后成为定理。

我们知道，所有的奇质数都可以分两类，4N+1和4N+3。

费马平方和定理的表述是：4N+1的奇质数能表示为两个平方数之和，即P=a^2+b^2。a、b是正整数，互质，并且唯一解。
比如：
5=1*1+2*2;
13=2*2+3*3;
17=1*1+4*4;
29=2*2+5*5;
但是，4N+3类型的奇质数是不能表示为两个整数的平方和。比如3，7，11，19，23，31.等。

我们发现，费马平方和定理其实揭示的是8N+5和8N+1的质数的规律。

二、4N+1的数

首先我们还是根据费马平方和定理的思路研究一下4N+1数的规律。
我们选取了小于120的所有4N+1的数进行分析。

1=1*1+0*0；                5=1*1+2*2；                 9=3*3+0*0；
13=2*2+3*3；               17=1*1+4*4；                 21；
25=3*3+4*4=5*5+0*0；       29=2*2+5*5；                33；
37=1*1+6*6；               41=4*4+5*5；                45=3*3+6*6；
49=7*7+0*0；               53=2*2+7*7；                57；
61=6*6+5*5；               65=8*8+1*1=4*4+7*7；        69；
73=3*3+8*8；               77；                         81=9*9+0*0；
85=2*2+9*9 =6*6+7*7；      89=5*5+8*8；                 93；
97=4*4+9*9；               101=10*10+1*1；             105；
109=10*10+3*3；            113=8*8+7*7；               117=9*9+6*6；

从上面看，有的数能分解出1种组合，有的数分解大于1种组合，有的数不能分解。其中所有的质数都只能分解出1种组合。
根据上面的数，我们进行一个归类。
无法分解的作为一类，21、33、57、69、77、93、105；
能分解出一种组合的，并且是质数的，5、13、17、29、37、41、53、61、73、89、97、101、109、113；
能分解出一种组合，但不是质数的，45、117；
能分解出半组的数，即平方数，1、9、25、49、81；
能分解出大于一种组合的数，65、85。

第一种分类，那些数都是合数，根据质因数分解
21=3*7；33=3*11；57=3*19；69=3*23；77=7*11；93=3*31；105=3*5*7；
这类数的质因数都是4N+3的分子，且存在奇数次幂，因此它就不能写成组合。其中我们要提到105，它虽然有5的质因数，但是他的3、7 质因数都是奇次幂，因此105也是没有办法写出组合的。

第二种分类，是符合费马平方和定理的数

第三种分类，那些数只能写出一种组合，但是这类数的a、b不互质。换句话说，他们的a、b同除公约数后，会得到符合费马平方和定理的数
45=3*3+6*6=3*3*5；             117=9*9+6*6=3*3*13；
5=1*1+2*2；                     13=2*2+3*3；
同时这里出现的公约数都是4N+3的数。他们在质因数分解的时候都是偶数次幂出现。

第四种分类，是完全平方数，我们讨论一个特殊的数字，那就是0。这些数字都能写成完全平方数+0，因此我们定义这个组合算半个组合。其中，我们发现25这个数字能写成1.5个组合。他既能写成5*5，又可以写成3*3+4*4。但是其他的完全平方数只能写成半个组合。
那是因为25=5*5，5是4N+1的质数，因此它能写出多一种。
我们再举个例子169=13*13，13是4N+1的质数，因此它也能写出1.5种。

第五种分类，它们能写出大于1种的组合。我们发现，65=5*13；85=5*17，这两个数字的质因数都是4N+1，并且我们已知5、13、17都能写出一种组合。
根据平方数定理：平方分解数的积是平方分解数。
即：     （a^2+b^2）*（c^2+d^2）=（ac+bd）^2+（ad-bc）^2
                                 =（ac-bd）^2+（ad+bc）^2
因此65、85都是有两种组合方式。


进而，我们得出一个推论猜想：
所有4N+1的正整数，他能写成两个平方数之和的个数与他的质因数有关。
令P为4N+1的正整数，则P的表达式：
P=[∏（4ai+1）^mi]*[∏（4bi+3）^ki]       i=1,2,3……,n
其中4ai+1和4bi+3均为质数。4ai+1称为4N+1因子，4bi+3称为4N+3因子。
个数公式为：
1）当4N+3因子中，ki均为偶数时，P能写出a^2+b^2的形式。如果ki中任意一个为奇数，则P不能写出a^2+b^2的形式。
2）当P中无4N+1因子，4N+3因子中，ki均为偶数，P能写出a^2+b^2的形式的个数为半个，即P=a^2+0^2。
3）当P中的4N+3因子中，ki均为偶数，P中只有一个4N+1因子，且其幂为1时，P能写出的a^2+b^2形式的个数为1个。进而当ki=0时，P=4N+1，P能写出1个a^2+b^2形式，P为质数。反之亦然。
4）当P中的4N+3因子中，ki均为偶数，P中有多个4N+1因子，且其幂为mi时，P能写出的a^2+b^2形式的个数为[∏(mi+1)]/2。

三、8N+3的数

费马平方和定理表述中谈到，4N+3类型的奇质数是不能表示为两个整数的平方和。比如3，7，11，19，23，31.等。

那么4N+3这类数字有没有什么规律呢。
我们发现8N+3这类数字是规律，它能写成a^2+2*b^2的形式，其中a、b都是奇数。如3、11、19，能写成3=1+1+1；11=1+1+9；19=9+9+1；但7、23等8N+7的数字不能写出来。

那么现在我们来研究一下8N+3数的规律。
我们选取了小于120的所有8N+3的数进行分析。

3=1*1+2*1*1；                        11=3*3+2*1*1；            19=1*1+2*3*3；
27=5*5+2*1*1=3*3+2*3*3；             35；                      43=5*5+2*3*3；
51=1*1+2*5*5=7*7+2*1*1；             59=3*3+2*5*5；            67=7*7+2*3*3；
75=5*5+2*5*5；                        83=9*9+2*1*1；           91；
99=9*9+2*3*3=7*7+2*5*5=1*1+2*7*7；   107=3*3+2*7*7；          115；

从上面看，有的数能分解出1种组合，有的数分解大于1种组合，有的数不能分解。其中所有的质数都只能分解出1种组合。
根据上面的数，我们进行一个归类。
无法分解的作为一类，35、91、115；
能分解出一种组合的，并且是质数的，3、11、19、43、59、67、83、107；
能分解出一种组合，但不是质数的，75；
能分解出大于一种组合的数，27、51、99。

第一种分类，那些数都是合数，根据质因数分解
35=5*7；91=7*13；115=5*23；
这类数的质因数都不是8N+3的分子，且存在奇数次幂，因此它就不能写成组合。

第二种分类，是非常类似费马平方和定理的数，即8N+3的质数能写出一种组合，而且只有一种。

第三种分类，那些数只能写出一种组合，但是这类数的a、b不互质。换句话说，他们的a、b同除公约数后，会得到符合第二种分类。
75=5*5+2*5*5=3*5*5；            
3=1*1+2*1*1
同时这里出现的公约数都是8N+5、8N+7的数。他们在质因数分解的时候都是偶数次幂出现。

第四种分类，它们能写出大于1种的组合。我们发现，27=3*3*3；51=3*17；99=3*3*11，这三个数字中，27和99他们的质因数都是8N+3，51的质因数是8N+1和8N+3，并且我们已知3、11都能写出一种组合。在这里我想提前告诉读者，其实17也能写出一种组合。即17=3*3+2*2*2。为啥说费马平方和定理有局限性，这里先微微提示一下。
因此根据恒等式：
（a^2+2*b^2）*（c^2+2*d^2）=（ac+2bd）^2+2*（ad-bc）^2
                           =（ac-2bd）^2+2*（ad+bc）^2

进而，我们得出一个推论猜想：
所有8N+3的正整数，他能写成a^2+2*b^2的个数与他的质因数有关。

令P为8N+3的正整数，则P的表达式：
P=[∏（8ai+1）^mi]*[∏（8bi+3）^ki] *[∏（8ci+5）^gi] *[∏（8di+7）^qi]      i=1,2,3……,n
其中8ai+1、8bi+3、8ci+5、8di+7均为质数。8ai+1称为8N+1因子，8bi+3称为8N+3因子，8ci+5称为8N+5因子、8di+7称为8N+7因子。
1）当8N+5、8N+7因子中，gi、qi均为偶数；8N+3因子中，∑ki为奇数时，P能写出a^2+2*b^2的形式。反之则P不能写出a^2+2*b^2的形式。
2）当P只有一个8N+3因子，P能写出1个a^2+2*b^2形式，且a、b互质时，P为质数。反之亦然。
3）当P中的8N+5、8N+7因子中，gi、qi均为偶数，P能写出的a^2+2*b^2形式的个数为[∏(mi+1)] *[∏(ki+1)]/2。


四、8N+7的数

我们发现，8N+7是能写成a^2-2*b^2这种形式的，当a^2给限定在2倍的8N+7范围内，那么8N+7数的规律就和前面的数字统一了。

举两个例子，7，我们限制a^2必须在（7，14）范围内，因此就只有一种组合。
            23，我们限制a^2必须在（23，46）范围内，因此就只有一种组合。
接下来我们还是选取了小于120的所有8N+7的数进行分析。
7=3*3-2*1*1；                15；                 23=5*5-2*1*1；
31=7*7-2*3*3；               39；                 47=7*7-2*1*1；
55；                         63=9*9-2*3*3；       71=11*11-2*5*5；
79=9*9-2*1*1；               87；                 95；
103=11*11-2*3*3；            111；               119=11*11-2*1*1=13*13-2*5*5；
从上面看，有的数能分解出1种组合，有的数分解大于1种组合，有的数不能分解。其中所有的质数都只能分解出1种组合。
根据上面的数，我们进行一个归类。
无法分解的作为一类，15、39、55、87、95、111；
能分解出一种组合的，并且是质数的，7、23、31、47、71、79、103；
能分解出一种组合，但不是质数的，63；
能分解出大于一种组合的数，119。

第一种分类，那些数都是合数，根据质因数分解
15=3*5；39=3*13；55=5*11；87=3*29；95=5*19；111=3*37；
这类数的质因数都不是8N+7的分子，且存在奇数次幂，因此它就不能写成组合。

第二种分类，是非常类似费马平方和定理的数，即8N+7的质数能写出一种组合，而且只有一种。

第三种分类，那些数只能写出一种组合，但是这类数的a、b不互质。换句话说，他们的a、b同除公约数后，会得到符合第二种分类。
63=9*9-2*3*3=3*3*7；            
7=3*3-2*1*1
同时这里出现的公约数都是8N+3、8N+5的数。他们在质因数分解的时候都是偶数次幂出现。

第四种分类，它们能写出大于1种的组合。我们发现，119=7*17；它的质因数是8N+1和8N+7，并且我们已知7能写出一种组合，同时17也能写出一种组合。即17=5*5-2*2*2。好了，大家发现结合前面所述，17这个8N+1的数居然能写出三种不同类型的组合。因此这里再透露一下，其实4N+1这类数还要分成8N+1和8N+5两类数来分析。这就是为啥说费马平方和定理有局限性的地方。在说4N+1的数时，其实我们讨论的是8N+5的形式，正好用到了8N+1，所以结合起来变成了4N+1了。
由于8N+7的数字乘积较大，因此在120范围内，只有119一个能写出2种组合的数字。那么我们按照这个规律再举一个例子：
1127=7*7*23=35*35-2*7*7=37*37-2*11*11=43*43-2*19*19

因此根据恒等式：
（a^2-2*b^2）*（c^2-2*d^2）=（ac-2bd）^2-2*（ad-bc）^2
                          =（ac+2bd）^2-2*（ad+bc）^2
进而，我们得出一个推论猜想：
所有能写成a^2-2*b^2形式的8N+7的正整数，它的写出形式的个数是无限个，但是我们给定一个范围，即a^2在2P的范围内，则P能写出a^2-2*b^2的个数与他的质因数有关。
令P为8N+7的正整数，则P的表达式：
P=[∏（8ai+1）^mi]*[∏（8bi+3）^ki] *[∏（8ci+5）^gi] *[∏（8di+7）^qi]      i=1,2,3……,n
其中8ai+1、8bi+3、8ci+5、8di+7均为质数。8ai+1称为8N+1因子，8bi+3称为8N+3因子，8ci+5称为8N+5因子、8di+7称为8N+7因子。
1）当8N+3、8N+5因子中，ki、gi均为偶数；8N+7因子中，∑qi为奇数时，P能写出a^2-2*b^2的形式。反之则P不能写出a^2-2*b^2的形式。
2）a^2在2P的范围内，当P有一个8N+7因子时，P只能写出1个a^2-2*b^2形式，且a、b互质，则P为质数。反之亦然。
3）当P中的8N+3、8N+5因子中，ki、gi均为偶数，P在（a^2在2P的范围内）能写出的a^2-2*b^2形式的个数为[∏(mi+1)] *[∏(qi+1)]/2。   
4) a^2如果超出2P范围外，那么满足3）的条件时，P能写出a^2-2*b^2形式的个数是无限个。

五、8N+1的数
我们已经知道4N+1的数，其实是8N+1、8N+5混合的数。它们的规律是能写出a^2+b^2的组合；而8N+3的数能写出a^2+2*b^2的组合；8N+7的数能写出a^2-2*b^2的组合；然后8N+1的数也能写成a^2+2*b^2和a^2-2*b^2的组合。
这样，我们总结出来，8N+1的数它有三种表达组合。
比如：17=1*1+4*4=3*3+2*2*2=5*5-2*2*2
      41=5*5+4*4=3*3+2*4*4=7*7-2*2*2
如果8N+1是质数，那么他的三种表达式在各组合中都是唯一解。

接下来我们还是选取了小于120的所有8N+1的数进行分析。
        a^2+b^2（8N+5）        a^2+2*b^2（8N+3）        a^2-2*b^2（8N+7）
9        3*3+0*0        3*3+2*0*0；1*1+2*2*2        3*3-2*0*0
17        1*1+4*4        3*3+2*2*2        5*5-2*2*2
25        5*5+0*0；3*3+4*4        5*5+2*0*0        5*5-2*0*0
33                5*5+2*2*2；1*1+2*4*4       
41        5*5+4*4        3*3+2*4*4        7*7-2*2*2
49        7*7+0*0        7*7+2*0*0        7*7-2*0*0；9*9+2*4*4
57                7*7+2*2*2；5*5+2*4*4       
65        8*8+1*1；7*7+4*4               
73        8*8+3*3        1*1+2*6*6        9*9-2*2*2
81        9*9+0*0        9*9+2*0*0；3*3+2*6*6；7*7+2*4*4        9*9-2*0*0
89        5*5+8*8        9*9+2*2*2        11*11-2*4*4
97        9*9+4*4        5*5+2*6*6        13*13-2*6*6
105                       
113        8*8+7*7        9*9+2*4*4        11*11-2*2*2

从上面看，有的数能分解出1种组合，有的数分解大于1种组合，有的数不能分解。其中所有的质数都只能分解出1种组合。
根据上面的数，我们进行一个归类。
无法分解的作为一类，105；
三种组合都能分解出一种组合的，并且是质数的，17、41、73、89、97、113；
完全平方数的，9、25、49、81；
三种组合有一种组合能分解出大于一种组合的数，33、57、65。

第一种分类，那些数都是合数，根据质因数分解
105=3*5*7；
这类数的质因数都不是8N+1的分子，且存在奇数次幂，因此它就不能写成组合。

第二种分类，是非常类似费马平方和定理的数，即8N+1的质数三种形式都能写出一种组合，而且只有一种。这就是对费马平方和定理的一个拓展。

第三种分类，那些数是完全平方数，在三种形式里面都能半个组合。其中，我们发现9这个数字在8N+3的形式里能写成1.5个组合；25这个数字在8N+5的形式里能写成1.5个组合；49这个数字在8N+7的形式里能写成1.5个组合；81这个数字在8N+3的形式里能写成2.5个组合。

第四种分类，它们能在特定的形式中写出大于1种的组合。我们发现，33=3*11；57=3*19它的质因数都是8N+3形式，因此它们在这种形式里可以写出2种；65=5*13它的质因数都是8N+5形式，因此它们在这种形式里可以写出2种。
另外我们再举一个8N+7形式的数字。这里因为数字太小，没有它的举例。
161=7*23=13*13-2*2*2=17*17-2*8*8

进而，我们得出一个推论猜想：
所有8N+1的正整数，它符合8N+3、8N+5、8N+7三种形式的推论猜想。
令P为8N+1的正整数，则P的表达式：
P=[∏（8ai+1）^mi]*[∏（8bi+3）^ki] *[∏（8ci+5）^gi] *[∏（8di+7）^qi]      i=1,2,3……,n
其中8ai+1、8bi+3、8ci+5、8di+7均为质数。8ai+1称为8N+1因子，8bi+3称为8N+3因子，8ci+5称为8N+5因子、8di+7称为8N+7因子。
1）        当8N+3因子中，ki中有奇数；则P不能写出a^2+b^2、a^2-2*b^2的形式。
2）        当8N+5因子中，gi中有奇数；则P不能写出a^2+2*b^2、a^2-2*b^2的形式。
3）        当8N+7因子中，qi中有奇数；则P不能写出a^2+2*b^2、a^2+b^2的形式。
4）        当P只有一个8N+1因子时，P每种形式都能写出1个组合，且a、b互质，则P为质数。反之亦然。
5）        P在各种形式中能写出的组合符合8N+3、8N+5、8N+7规则。
即当P中的8N+5、8N+7因子中，gi、qi均为偶数，P能写出的a^2+2*b^2形式的个数为[∏(mi+1)] *[∏(ki+1)]/2。（8N+3）
当P中的4N+3（8N+3、8N+7）因子中，ki、qi均为偶数， P能写出的a^2+b^2形式的个数为[∏(mi+1)] *[∏(gi+1)]/2。（8N+5）
当P中的8N+3、8N+5因子中，ki、gi均为偶数，P在（a^2在2P的范围内）能写出的a^2-2*b^2形式的个数为[∏(mi+1)] *[∏(qi+1)]/2。 （8N+7）


六、偶数的讨论
   将上述四种奇数的情况推广到偶数，即添加2^n，
令P为一个偶数，则它的表达式如下：
P=(2^n)*[∏（8ai+1）^mi]*[∏（8bi+3）^ki] *[∏（8ci+5）^gi] *[∏（8di+7）^qi]      i=1,2,3……

  2*（a^2+b^2）=（a+b）^2+（a-b）^2
2*（a^2+2*b^2）=（2b）^2+2*a^2
2*（a^2-2*b^2）=（2a-2b）^2-2*（a-2b）^2

因此，一个偶数能否能写成a^2+b^2、a^2+2*b^2和a^2-2*b^2三种形式，首先判断降解掉2^n因子后的分类8N+1、8N+3、8N+5、8N+7。然后根据前述分类进行讨论，最终个数与去掉2^n因子后的8N+1、8N+3、8N+5、8N+7的个数一样。