勾股方程 a^2+b^2=c^2 中，已知 a+b=2044 ，试证方程有且只有 4 组非零正整数解

ysr

      勾股方程a^2+b^2=c^2中，若a+b=2044，试证方程有且只有4组非零正整数解？
（注：可以用机器证明，但程序结果必须说明原理，可能本论坛有过证明了，我没见过，没有明白，可以在此重发，没关系，就当个智力游戏！）

ysr

附分解因子结果：2044=2*2*7*73，2021=45*47，
2022=2*3*337
2040=2*2*2*3*5*17

2047=23*89
2058=2*3*7*7*7

2045=5*409
2032=2*2*2*2*127
2034=2*3*3*113
2037=3*7*97
2046=2*3*11*31
2050=2*5*5*41
2054=2*13*79
2056=2*2*2*257
2060=2*2*5*103

2062=2*1031
2063=这是一个质数
2066=2*1033
2068=2*2*11*47

2064=2*2*2*2*3*43（注意：当a+b=2064时方程没有非零的正整数解，以上方程解指的就是非零的正整数解）

ysr

当x+y=7有1组解： /解/3/4/5
当x+y=14有2组解： /解/8/6/10/解/6/8/10
当x+y=70有1组解： /解/40/30/50
当x+y=700有1组解： /解/400/300/500

ysr

当x+y=2021有1组方程x^2+y^2=z^2的解： /解/1505/516/1591.
以前的所有公式都不能得到这一组解，咱的公式能得到这个值，哈哈！

费尔马1

目前学生我只得到了二组正整数解:
a=1920
b=124
c=1924
a=480
b=1564
c=1636
以下是a为负数的解:
a=－624
b=2668
c=2740
a=－27824
b=29868
c=40820
a=－59840
b=61884
c=86084
a=－222560
b=224604
c=316196
a为负数的整数解有无穷多组？

ysr

的确都符合勾股定理，问题是都必须是正整数，否则差为2044的整数是无穷的。
有9组解： /解/0/2044/2044/解/124/1920/1924/解/480/1564/1636/解/784/1260/1484/解/876/1168/1460/解/1168/876/1460/解/1260/784/1484/解/1564/480/1636/解/1920/124/1924.
这是程序结果，除了一个有0的其他都是重复的，实际只有4组。

费尔马1

上帖中的a+b=2044的解数只有二组，而b－a=2044的解数有无穷多组，这就类似于哥德巴赫猜想的素数对，两个素数的和等于一个偶数的解数是有限的，而两个素数的差等于一个偶数的解数是无限的！
然而，每一个大于等于3的奇数做为直角边，都至少对应一组勾股数，这就类似于哥德巴赫猜想的命题，每一个大于等于6的偶数都至少对应一个素数对。

ysr

费尔马1 发表于 2021-2-12 06:27
上帖中的a+b=2044的解数只有二组，而b－a=2044的解数有无穷多组，这就类似于哥德巴赫猜想的素数对，两个素 ...

应该是4组，原来的勾股数公式是不完全的不全面的。差则是无穷多的。

费尔马1

还是老师您的方法巧妙啊！学生我只能得到两组解。请老师指点！谢谢！

ysr

是程序算出来的，程序是，手工计算就是利用勾股数公式。
更简单的方法就是a和2044-a带入a^2+(2044-a)^2看是否是平方数，用程序算的，手工费力，起码得用计算器。