积分 \(0.999...=\displaystyle\int_0^\infty 10^{-x}\ln 10\,\text{d}x=1\)

elim

易见 \(\sigma(t)=\displaystyle\int_0^t 10^{-x}\ln 10\,\text{d}x=1-10^{-t},\varphi:=\sigma'=(1-\sigma)\ln 10\)
对正整数\(\,n,\;\displaystyle{\small\sum_{k=1}^n\frac{9}{10^k}}=0.\underset{n\text{个}9}{\underbrace{99\ldots 9}}=1-10^{-n}=\sigma(n).\) 令\(\;n\to\infty,\)
\(0.\dot{9}{\small=0.999\ldots=}\displaystyle\int_0^{\infty}\varphi(x)\,\text{d}x=\lim_{n\to\infty}\small(1-10^{-n}).\) 若 \(\small0.999\ldots < 1,\)
那么 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1-10^{-n})<1,\) 否则积分值不唯一，标准分析崩溃.
若 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1-10^{-n})<1,\;\delta:=\lim_{n\to\infty}10^{-n}>0,\) 据阿基米德公理,
存在某正整数\(\,m\) 使\(\,m\delta >1\)(蜗牛上树).由定义\(\,\delta\le 10^{-m}\)显然.
于是得\(\,1/m < 10^{-m},\;1<{\large\frac{m}{10^m}}<{\large\frac{m}{(1+1)^m}}\le{\large\frac{m}{1+m}}< 1\) 矛盾!
所以在标准分析中必须有\(\,0.999\ldots=1\). 否则微积分地动山摇！
可是与人奋斗其乐无穷，所以就造反，就搞各种主义。这时候
非标准分析师出场了：
对(相等个)屁派说,我是支持你的.这明摆着的雁过拔毛还能逃
过我的眼睛？但你有必要跟(就是)相等派一般见识吗? 难道搞
出小肠气医保全包还馈赠补药?
对(就是)等派说,抱歉没先招呼您们.可话得说回来,您们才是有
理有据的.那些屁派少了不止一窍.您们跟病人叫啥真?只有闷声
才能做学问恰似发大财.
最后自语：非标准智商一点不多，情商就多一点.

APB先生

如果 1=0.999……=0.99……99、 则有 2=1.99……98、 3=2.99……97、 4=3.99……96、 ……

1 是常数，1 不能变成 0.999……； 0.999……也是常数，不能变成 1 ；

1=0.999……会荒谬性无限多，每一个实数都可以变成多值数了。

awei

全网都是0.9999……，

jzkyllcjl

第一，需要使用任意多位有尽小数0.99……9，都小于1，但随着9的个数增多，它可以无限接近于1，但跟根据∞的不可达到性，它永远达不到1.
第二，极限理论是需要的，在极限理论下  lim n→∞1/10^n=0;   lim n→∞(1-1?10^n)=1, 极限是1，表示他无限接近于1，表示在忽略足够小的意义下，它等于1.

APB先生

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楼主赶快改 0.999……=1 ，这个大错特错，不然会大祸临头。

elim

楼上有点江湖数学了．呵呵

jzkyllcjl

每一项都大于0的数列，其极限可以等于0.

elim

jzkyllcjl 也发现 APB 先生的 \(0.\dot{0}1\) 等于 0 了。 呵呵

jzkyllcjl

elim 发表于 2021-2-14 03:54
jzkyllcjl 也发现 APB 先生的 \(0.\dot{0}1\) 等于 0 了。 呵呵

elim 胡扯： 我没有说APB的那个表达式等于0.  我认为：康托尔的实数定义有问题。康托尔的实无穷观点与ZFC形式语言集合论带来了鲁滨逊的《非标准分析》，APB的无穷观点与《非标准分析》的“有无穷大自然数”的观点一致。
我认为：恩格斯对杜林的批判是对的。《反杜林论》是文化大革命时期，发给我的书，这个书对杜林观点做了几千字的讨论，最后说道“杜林先生，永远做不到没有矛盾地思考现实的无限性。无限性是一个矛盾，而且充满着矛盾。无限纯粹是由有限组成的，这已经是矛盾，可是事情就是这样。”但是，在文化大革命时期以及后来很多年，我都没有看懂恩格斯的意思及其应用，现在才算有一点点理解。

elim

好罢，吃狗屎的jzkyllcjl 没算对过极限的记录仍然保持．