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证明0.999...不是个实数

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发表于 2021-2-20 10:50 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 zhangyu1986 于 2021-2-20 14:39 编辑

样子上看0.99...是属于无限循环小数。
而无限循环小数的来源是用小数这种实数形式来表示分数,无限循环小数的定义里有一条,无限循环小数可以化做分数(百度百科,无限循环小数的定义)。
0.11...=1/9  
0.22...=2/9
...
0.0101...=1/99
还是有规律的 即分子是循环数,分母是循环位数对应位数的9。
其他可化做x+y/(对应位数9)不做阐述。

唯独0.99..没有对应的分数。

所以至少0.99...不是无限循环小数。

有理数是整数与分数的合集,所以它也不是有理数。

来看看无理数定义,将一个无理数用小数这种实数形式表现出来的话,就是无限不循环小数,也就是说无理数写成无限小数的时候,该小数的小数点后的部位所包含的数字个数是不可数的、无限多的,并且也不会有数字循环现象的产生。(百度百科)

注意数字循环现象,显然0.99...也不是无理数。

所以它也不是个实数。

证明完毕

最后我想问下edim 0.99...=  那个合集 =1, 同样方式0.88...最后等于啥

但还是有疑虑,现行“无限循环小数”不能完美等于分数。举例:1/9=0.11...+∞位上的余量(永不除尽原则)。最后总结,无限循环小数应重新定义,踢出现行分数、有理数、实数范畴。




发表于 2021-2-20 11:27 | 显示全部楼层
本帖最后由 elim 于 2021-2-20 08:04 编辑

在现行实数理论中,sn=1+r++rn1rsn=r++rn
\therefore(1-r)s_n=1-r^n.\,r\ne 1\,s_n=\large\frac{1-r^n}{1-r}
\,|r|<1\,\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}r^{k-1}=\lim_{n\to\infty}s_n=\frac{1}{1-r}.
(\forall\varepsilon>0\,\forall n>\lceil \varepsilon^{-1}\rceil:\, |10^{-n}-0|< n^{-1}<\varepsilon.\;\therefore\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}10^{-n}=0)
\,r=\large\frac{1}{10}0.999... = {\large\frac{9}{10}}(1+{\large\frac{1}{10^1}}+{\large\frac{1}{10^2}}+\cdots)={\large\frac{9}{10}\frac{1}{1-\frac{1}{10}}}=1

0.999..... 在标准分析中是实数1 的无尽小数表示。

点评

级数 0.9+0.09+0.009+…… 收敛到 0.999……,而不是 1 ;0.999…… 是一个常数,它不能被当作几何级数来处理。  发表于 2021-2-28 19:42
elim 此贴的倒数第二行有错误。  发表于 2021-2-20 19:30
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 楼主| 发表于 2021-2-20 11:30 | 显示全部楼层
elim 发表于 2021-2-20 11:27
在现行实数理论中,s_n=1+r+\cdots+r^{n-1}\implies rs_n=r+\cdots+r^n
\(\therefore(1-r)s_n=1-r^n.\ ...

那0.88..怎么计算
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 楼主| 发表于 2021-2-20 11:32 | 显示全部楼层
elim 发表于 2021-2-20 11:27
在现行实数理论中,s_n=1+r+\cdots+r^{n-1}\implies rs_n=r+\cdots+r^n
\(\therefore(1-r)s_n=1-r^n.\ ...

最后你也说的是一种表示,没说它是数吧
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发表于 2021-2-20 11:35 | 显示全部楼层
zhangyu1986 发表于 2021-2-19 20:32
最后你也说的是一种表示,没说它是数吧

是标线为无穷和形式的数。
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 楼主| 发表于 2021-2-20 11:50 | 显示全部楼层
让你说个对 好难啊,总之我们知道它是个数,但不是个实数吧。它就是个函数。
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发表于 2021-2-20 12:33 | 显示全部楼层
级数和是一个极限,在标准分析中,极限是一个实数.
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发表于 2021-2-20 13:13 | 显示全部楼层
n→∞,但n不能等于∞。变数性质的无穷数列的极限值具有数列达不到的性质。
,使用施笃兹公式之前,需要尊重菲赫金哥尔茨《微积分学教程》中译本一卷一分册59页的定理证明之前说的"为着确定∞/∞型的不定式X(n)/Y(n ) 的极限的条件,在使用这个公式之前。必须 证明X(n)/Y(n )的分子分母的极限都是∞ 。否则就会出错误。elim的认识与他的计算结果是错误的。

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发表于 2021-2-20 14:15 | 显示全部楼层
吃狗屎的 jzkyllcjl 啼猿声啼到这里来了,呵呵。
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 楼主| 发表于 2021-2-20 14:43 | 显示全部楼层
elim 发表于 2021-2-20 12:33
级数和是一个极限,在标准分析中,极限是一个实数.

你说法有误,当此极限为0的时候,也就是无穷小量,在你所谓标准分析中 明确规定它不是一个实数。

点评

“当此极限为0的时候,也就是无穷小量...”标准分析中这串字符没有意义。  发表于 2021-2-24 10:03
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