x取值必定是1，7，13，有正整数解

太阳

yangchuanju

题目要求n不是3的倍数，5n不是15的倍数，对应的10^k-1中的指数k不是45的倍数；
因而n可以是1,2,4,5，……；5n可以是5,10,20,15，……；对应的k应该是15,30,60,75,105,120，……；
1+10^5n+100^5n显然是3的倍数，令x=1，（1+10^5n+100^5n）/(3x^2)是整数。

但素因子7出现在k=6,12,18……时，7*7出现在k7=42,294……时；
素因子11出现在k=2,4,6,8……时，11*11出现在k11=22,44,66……时；
素因子13出现在k=6,12,18……时，13*13出现在k13=78,1014……时；
符合条件的k与k7、k11、k13……不会同时出现，故1+10^5n+100^5n不含3以外素数的平方因子。

方程没有1以外的正整数解，x取值必定是7,13是错误的！

太阳

x取必定是1，7，13，31，37

yangchuanju

太阳 发表于 2021-3-3 13:43
x取必定是1，7，13，31，37

如果你认为有7和13对应的解，请给出来！
31和37你原题没要求，请不要随意加码！

太阳

原题是没有要求，31，37

yangchuanju

太阳 发表于 2021-3-3 14:29
原题是没有要求，31，37

x可以等于31，但不能等于37。

yangchuanju

2楼部分数据不全面，以下文为准！
本文关于素数的立方数据对于本题无用，可删除！

题目要求n不是3的倍数，5n不是15的倍数，对应的10^k-1中的指数k不是45的倍数；
因而n可以是1,2,4,5，……；5n可以是5,10,20,15，……；对应的k应该是15,30,60,75,105,120，……；
1+10^5n+100^5n显然是3的倍数，令x=1，（1+10^5n+100^5n）/(3x^2)是整数。

但素因子7出现在k=6,12,18……时，7*7出现在k7=42,84,126……时，7*7*7出现在k7=294,588……时；
素因子11出现在k=2,4,6,8……时，11*11出现在k11=22,44,66……时，11*11*11出现在k11=242,484……时；
素因子13出现在k=6,12,18……时，13*13出现在k13=78,156,234……时，13*13*13出现在k13=1014,2024……时；
素因子31出现在k=15,30,45……时，31*31出现在k31=465,930,1395……时，31*31*31出现在k31=14415,28830……时；
素因子37出现在k=3,6,9,12……时，37*37出现在k37=111,222,333……时，37*37*37出现在k37=4107,8214……时；……

符合条件的k与k7、k11、k13、k37……不会同时出现，故1+10^5n+100^5n不含素数7、13、37的平方因子，更不会含它们的立方因子；
但符合条件的k与k31可同时出现（k=465=15*31， k=14415=15*31*31），故1+10^5n+100^5n可含素数31的平方和立方因子。

方程有正整数解1和31，但没有正整数解7、13和37！