方程没有正整数解

太阳

白新岭

你规定a大于0有什么作用。

太阳

多写了，多余的

yangchuanju

题目要求n不是3的倍数，5n不是15的倍数，对应的10^k-1中的指数k不是45的倍数；
因而n可以是1,2,4,5，……；5n可以是5,10,20,15，……；对应的k应该是15,30,60,75,105,120，……；
素因子7出现在k=6,12,18……时，7*7出现在k7=42,294……时；
素因子11出现在k=2,4,6,8……时，11*11出现在k11=22,44,66……时；
素因子13出现在k=6,12,18……时，13*13出现在k13=78,1014……时；
符合条件的k与k7、k11、k13……不会同时出现，故1+10^5n+100^5n不含3以外素数的平方因子，更没有3以外素数的立方因子了。

修改：
第3行改为：素因子7出现在k=6,12,18……时，7*7出现在k7=42,84,126……时；
第5行改为：素因子13出现在k=6,12,18……时，13*13出现在k13=78,156,234……时；
第6行改为：符合条件的k与k7、k11、k13……不会同时出现，故1+10^5n+100^5n不含素数7,11,13的平方因子，更没有素数7,11,13的立方因子了。

太阳

这个命题是正确，完全可以证明素数是无限多

yangchuanju

太阳 发表于 2021-3-3 13:40
这个命题是正确，完全可以证明素数是无限多

我的答案很明确，你的命题正确！
从这个题目怎么导出素数无穷多，请告诉网友们！

太阳

n不是3倍，(1+10^5n+100^5n)/3x^m=y，有等式关系，m取值最大是2，(1+10^5n+100^5n)/3分成素数乘积(1+10^5n+100^5n)/3=e^2*f^2*...*k^2，最大分解形式，n无穷变大，素数无限增加，可以证明素数是无限多

yangchuanju

太阳 发表于 2021-3-3 13:40
这个命题是正确，完全可以证明素数是无限多

4楼部分数据不全面，以下文为准！

题目要求n不是3的倍数，5n不是15的倍数，对应的10^k-1中的指数k不是45的倍数；
因而n可以是1,2,4,5，……；5n可以是5,10,20,15，……；对应的k应该是15,30,60,75,105,120，……。

素因子7出现在k=6,12,18……时，7*7出现在k7=42,84,126……时，7*7*7出现在k7=294,588……时；
素因子11出现在k=2,4,6,8……时，11*11出现在k11=22,44,66……时，11*11*11出现在k11=242,484……时；
素因子13出现在k=6,12,18……时，13*13出现在k13=78,156,234……时，13*13*13出现在k13=1014,2024……时；
素因子31出现在k=15,30,45……时，31*31出现在k31=465,930,1395……时，31*31*31出现在k31=14415,28830……时；
素因子37出现在k=3,6,9,12……时，37*37出现在k37=111,222,333……时，37*37*37出现在k37=4107,8214……时；……

符合条件的k与k7、k11、k13、k37……不会同时出现，故1+10^5n+100^5n不含素数7、13、37的平方因子，更不会含它们的立方因子；
但符合条件的k与k31可同时出现（k=465=15*31， k=14415=15*31*31），故1+10^5n+100^5n可含素数31的平方和立方因子。

(10^14415-1)中含素因子31的立方；4805不是15的倍数，不是465的倍数，（10^4805-1）不含素因子31；(10^14415-1)/（10^4805-1）分解式中含有31的立方。原方程有正整数解31，但没有正整数解7、11、13和37！

附注：本段分析不全面，结论不全正确，请看14-18楼的分析和结论！

太阳

已知：整数a>0，t>1，v>0，2^a=n
求证：[1+10^(5n)+100^(5n)]/(3t^2)≠v
n取值2，4，8，16，32，64，128，256...
命题是正确，可以证明素数是无限多

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2021-3-3 15:44
4楼部分数据不全面，以下文为准！

题目要求n不是3的倍数，5n不是15的倍数，对应的10^k-1中的指数k不是 ...

指数k一定是45t-30或45t-15，周期等于6*7=42的7*7出现在指数为6*7s的10^k-1分解式中，(45t-30)/(6*7s)=(15t-10)/(2*7s)、(45t-15)/(6*7s)=(15t-5)/(2*7s)都没有整数解，即k与k7不同时出现；
周期等于2*11=22的11*11出现在指数为2*11s的10^k-1分解式中，(45t-30)/(2*11s)、(45t-15)/(2*11s)都没有整数解，即k与k11不同时出现；
周期等于6*13=78的13*13出现在指数为6*13s的10^k-1分解式中，(45t-30)/(6*13s)=(15t-10)/(2*13s)、(45t-15)/(6*13s)=(15t-5)/(2*13s)都没有整数解，即k与k13不同时出现；
周期等于3*37=111的37*37出现在指数为3*37s的10^k-1分解式中，(45t-30)/(3*37s)=(15t-10)/(37s)、(45t-15)/(3*37s)=(15t-5)/(37s)都没有整数解，即k与k37不同时出现；

而周期等于15*31=465的31*31出现在指数为15*31s的10^k-1分解式中，(45t-30)/(15*31s)=(3t-2)/(31s)、(45t-15)/(15*31s)=(3t-1)/(31s)，当s=1，t=11时(45t-30)/(15*31s)=(3t-2)/(31s)=1，当s=2，t=21时(45t-15)/(15*31s)=(3t-1)/(31s)=1，k与k31同时出现。

类似的，周期等于5*41=205的41*41出现在指数为5*41的10^k-1分解式中，(45t-30)/(5*41s)=(9t-6)/(41s)、(45t-15)/(5*41s)=(9t-3)/(41s)，当s=6，t=28时(45t-30)/(5*41s)=(9t-6)/(41s)=246/246=1，当s=3，t=14时(45t-15)/(5*41s)=(9t-3)/(41s)=123/123=1，k与k41同时出现。
周期等于5*271=1355的271*271出现在指数为5*271的10^k-1分解式中，(45t-30)/(5*271s)=(9t-6)/(271s)、(45t-15)/(5*271s)=(9t-3)/(271s)，当s=3，t=91时(45t-30)/(5*271s)=(9t-6)/(271s)=813/813=1，当s=6，t=181时(45t-15)/(5*271s)=(9t-3)/(271s)=1626/1626=1，k与k271同时出现。

通过分析得知，方程(1+10^5n+100^5n)/(3x^2)除正整数解1,31外，还含有正整数解41和271（周期为5的素因子）。
同样的方法，亦可证明方程含有正整数解2906161（周期为15的素因子），211、241、2161（周期为30的素因子）。

修改：
第4段“类似的……”关于素数41和271的分析错误，整段删除！
第5段“通过分析……”结论错误，整段删除！另行分析得知，41和271不是原方程的正整数解，211,241,2161,2906161没有验证，不能乱下结论！