数学求证题

太阳

yangchuanju

分子指数5n=5*2^a，展开式1+(5*2^a-1)个0+1+(5*2^a-1)个0+1，当a=1、2、3、4、5……时，5*2^a=10、20、40、80、160……，
分子为1+9个0+1+9个0+1、1+19个0+1+19个0+1、1+39个0+1+39个0+1、1+79个0+1+79个0+1、1+159个0+1+159个0+1、……
它们分别是(10^30-1)/9、(10^60-1)/9、(10^120-1)/9、(10^240-1)/9、(10^480-1)/9……除以(10^10-1)/9、(10^20-1)/9、(10^40-1)/9、(10^80-1)/9、(10^160-1)/9……得到的。

经查，(10^30-1)/9、(10^60-1)/9、(10^120-1)/9、(10^240-1)/9、(10^480-1)/9……中都含有素因子31，
但(10^10-1)/9、(10^20-1)/9、(10^40-1)/9、(10^80-1)/9、(10^160-1)/9……中都不含素因子31，
相除后仍含素因子31，故（1+10^5n+100^5n）能被31整除，（1+10^5n+100^5n）/31等于整数。

扩展：(10^15k-1)/9之中都含有素因子31，题目中的n取任意正整数时1+10^5n+100^5n能被31整除。
      10^465-1=10^(15*31)-1中含素因子31的平方，10^14415-1=10^(15*31*31)-1中含素因子31的立方。