以142857为循环节的素数φ因子

yangchuanju

以142857为循环节的素数φ因子
众所周知，7分之一是一个纯循环小数，循环节为142857，1/7=0.142857142857142857…
然而亦有一个以142857为“循环节”的84位大素数：
142857 157 142857 142856 99999998 571428 571428 58 571428 571428
5 571428 5 571428 571428 572857143
有些遗憾的是，它的循环节142857之间夹杂着一些其它数字！

7是一个小素数，它隐含在(10^6-1)/9=111111之中；
49=7*7，完全平方数，它隐含在(10^42-1)/9=111111…<42>之中；
294=7*7*7，立方数，它隐含在(10^294-1)/9=111111…<294>之中；
2058=7*7*7*7，四次方数，它隐含在(10^2058-1)/9=111111…<2058>之中；
……

111111=3×7×11×13×37
111111…<42>=3×7^2×11×13×37×43×127×239×1933×2689×4649×459691×909091×10838689
111111…<294>=3×7^3×11×13×37×43×127×197×239×1933×2689×4649
    ×63799×459691×909091×4715467×10838689×505885997×267652966241599<15>
    ×2603941883787374089<19>×1976730144598190963568023014679333<34>
    ×4769337181464959147997704753876850429427<40>
    ×5076141624365532994918781726395939035533<40>
    ×142857157142857142856999999985714285714285857142857
      -142855714285571428571428572857143<84>
…………
注意到了吗？
111111…<294>分解式的最后一个大因子就是今天要说的以142857为“循环节”的大素数！

294=2*3*7*7，111111…<294>共含26个素因子（其中含3个7）
(10^294-1)/9=(10^147-1)*(10^147+1)=(10^49-1)/9*(10^98+10^49+1)*(10^49+1)*(10^98-10^49+1)
(10^49-1)/9=(10^7-1)*(10^42+10^35+10^28+10^21+10^14+10^7+1)/9
      =(10-1)*(10^6+10^5+10^4+10^3+10^2+10+1)*(10^42+10^35+10^28+10^21+10^14+10^7+1)/9
      =1111111*1000000100000010000001000000100000010000001
      =239*4649*505885997*1976730144598190963568023014679333
10^98+10^49+1
      =1000000000000000000000000000000000000000000000000
       10000000000000000000000000000000000000000000000001      
      =3*37*43*1933*63799*4715467*10838689*267652966241599*2603941883787374089<19>
       *4769337181464959147997704753876850429427<40>
10^49+1=(10^7+1)*(10^42-10^35+10^28-10^21+10^14-10^7+1)
      =(10+1)*(10^6-10^5+10^4-10^3+10^2-10+1)*(10^42-10^35+10^28-10^21+10^14-10^7+1)
      =11*909091*999999900000009999999000000099999990000001
      =11*909091*197*5076141624365532994918781726395939035533
10^98-10^49+1
      =9999999999999999999999999999999999999999999999999
       0000000000000000000000000000000000000000000000001      
      =7^3*13*127*2689*459691
       *142857157142857142856999999985714285714285857142857
        -142855714285571428571428572857143<84>

84位素因子142857…是111111…<294>的唯一φ因子，它是目前已知的第22大的唯一素数。
142857*7=999999，142857…<84>乘以7等于：
1000000099999999999998999999900000000000000999999999999989999999000000000000010000001
再乘以7^2*13*127*2689*459691=99999990000001<7个1+6个0+1个1>还原成10^98-10^49+1：
9999999999999999999999999999999999999999999999999
0000000000000000000000000000000000000000000000001<49个1+48个0+1个1>

yangchuanju

没有纯粹的以142857为循环节的素数，因为142857本身就不是素数
以142857为循环节后加1的整数中找到了2个素数1428571和1428571428571428571428571
=================================
1428571 is prime
cputime 0:00:00:00
=================================
1428571428571=P1 * P5 * P7
P1 = 7
P5 = 56527
P7 = 3610339
cputime 0:00:00:00
=================================
1428571428571428571=P3 * P4 * P6 * P7
P3 = 103
P4 = 9431
P6 = 155027
P7 = 9486361
cputime 0:00:00:00
=================================
1428571428571428571428571 is prime
cputime 0:00:00:15
=================================
1428571428571428571428571428571=P4 * P4 * P5 * P9 * P11
P4 = 1063
P4 = 2089
P5 = 95633
P9 = 167826727
P11 = 40083104483
cputime 0:00:00:20
=================================
1428571428571428571428571428571428571=P4 * P9 * C24
P4 = 5779
P9 = 702780737
C24 = 351746201673192590450777
cputime 0:00:02:75
=================================
1428571428571428571428571428571428571428571=P2 * P5 * P5 * P7 * P7 * P19
P2 = 17
P5 = 63473
P5 = 71861
P7 = 1004537
P7 = 6948583
P19 = 2639420403553807201
cputime 0:00:00:14
=================================
1428571428571428571428571428571428571428571428571=P15 * C34
P15 = 168557936063381
C34 = 8475254633126609105645276866978991
cputime 0:00:04:03
=================================
1428571428571428571428571428571428571428571428571428571=P1 * P2 * P4 * P49
P1 = 7
P2 = 29
P4 = 3989
P49 = 1764175903156622301759112718314562795753064064813
cputime 0:00:00:23
=================================
1428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571=P3 * P4 * P55
P3 = 157
P4 = 1321
P55 = 6888100737095659876606563395668348970470023329997196543
cputime 0:00:00:28
=================================
1428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571=P2 * P7 * C58
P2 = 83
P7 = 4462531
C58 = 3856937679243440661619922595958527677464432014006564834227
cputime 0:00:06:04
=================================
1428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571=P8 * P65
P8 = 31820483
P65 = 44894712269811510134166455882251333879142294243975761506466492937
cputime 0:00:01:36
=================================
1428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571=P2 * P3 * P8 * C67
P2 = 71
P3 = 113
P8 = 66457829
C67 = 2679285648759340150056154979023576140660020593415626029580971345113
cputime 0:00:07:53
=================================
1428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571=P4 * P5 * C76
P4 = 4073
P5 = 64849
C76 = 5408592560364432134973348475971845374554253751256066521478444033527586198323
cputime 0:00:08:95
=================================
1428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571=P2 * P12 * P15 * P63
P2 = 17
P12 = 622802562607
P15 = 541191531367411
P63 = 249316864069717043485091626653147919697908905053883660187580519
cputime 0:00:01:14
=================================
1428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571=P1 * P4 * P8 * P15 * P70
P1 = 7
P4 = 2281
P8 = 56978387
P15 = 572041744923931
P70 = 2744989966329896961448749127879070039002143600805487375898998297932229
cputime 0:00:02:23
=================================
1428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571=P6 * C97
P6 = 692401
C97 = 2063213988095667931485615168914297598398285716761571071429087232068452488411442832363657145828171
cputime 0:00:12:81
=================================
1428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571 is not prime
cputime 0:00:15:07
=================================
1428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571=P3 * P5 * C108
P3 = 149
P5 = 16427
C108 = 583656645068063411492934748762954332194366300926012123365637366772345484344840454829615742060183054568219277
cputime 0:00:14:90
=================================
1428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571=P3 * P119
P3 = 103
P119 = 13869625520110957004160887656033287101248266296809986130374479889042995839112343966712898751733703190013869625520110957
cputime 0:00:02:89
=================================
1428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571 is not prime
cputime 0:00:20:37
=================================

yangchuanju

含142857的素数
A242824给出
1 1428571
2 1428571428571428571428571——25位，内含4个142857+1个1
3 1428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571——355位，内含59个142857+1个1
4 1428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571——823位，内含167个142857+1个1

A242827给出
3 71428571
4 7142857142857
5 7142857142857142857142857142857

yangchuanju

60个最长循环节（前导0省略未写）       
对应素数        A180340提供
7        1 142857
17        2 588235294117647
19        3 52631578947368421
23        4 434782608695652173913
29        5 344827586206896551724137931
47        6 212765957446808510638297872340425531914893617
59        7 169491525423728813559322033898305084745762711864406779661
61        8 16393442622950819672131147540983606557377049180327868852459
97        9 10309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567
109        10 9174311926605504587155963302752293577981651376146788990825688073394495412844036697247706422018348623853211
113        11 88495575221238938053097345132743362831858407079646017699115044247787610619469026548672566371681415929203539823
131        12 76335877862595419847328244274809160305343511450381679389312977099236641221374045801526717557251908396946564885496183206106870229
149        13 67114093959731543624161073825503355704697986577181208053691275167785234899328859060402684563758389261744966442953020134228187919463087248322147651
167        14 59880239520958083832335329341317365269461077844311377245508982035928143712574850299401197604790419161676646706586826347305389221556886227544910179640718562874251497
179        15 55865921787709497206703910614525139664804469273743016759776536312849162011173184357541899441340782122905027932960893854748603351955307262569832402234636871508379888268156424581
181        16 5524861878453038674033149171270718232044198895027624309392265193370165745856353591160220994475138121546961325966850828729281767955801104972375690607734806629834254143646408839779
193        17 5181347150259067357512953367875647668393782383419689119170984455958549222797927461139896373056994818652849740932642487046632124352331606217616580310880829015544041450777202072538860103626943
……

yangchuanju

（十进制下第60个倒数循环节最长素数）983的倒数循环节
00101729399796541200406917599186164801627670396744659206510681586978636826042726347914547304170905391658189216683621566632756866734486266531027466937945066124109867751780264496439471007121057985757884028484231943031536113936927772126144455747711088504577822990844354018311291963377416073245167853509664292980671414038657171922685656154628687690742624618514750762970498474059003051881993896236012207527975584944048830111902339776195320447609359104781281790437436419125127161749745676500508646
99898270600203458799593082400813835198372329603255340793489318413021363173957273652085452695829094608341810783316378433367243133265513733468972533062054933875890132248219735503560528992878942014242115971515768056968463886063072227873855544252288911495422177009155645981688708036622583926754832146490335707019328585961342828077314343845371312309257375381485249237029501525940996948118006103763987792472024415055951169888097660223804679552390640895218718209562563580874872838250254323499491353

982位，前后两个半循环节相加等于99...9（491个9），该循环节依次乘以2,3，……982的乘积仍然是这个循环节的所有数字，只是顺序有所移位而已！
该循环节乘以983得99...9（982个9）。
与142857具有完全相同的性质！

yangchuanju

第1个倒数循环节最长的素数是7，
第10个倒数循环节最长的素数是109，
第100个倒数循环节最长的素数是1619，
第1000个倒数循环节最长的素数是23663，
第10000个倒数循环节最长的素数是308927，